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【問】
上の式１の３次関数のグラフの点Ａでの接線と点Ｂでの接線の交点をＰとする。交点Ｐを通って式１の曲線に点Ｃで接する第３の接線ＰＣを考える。
点Ｃのｘ座標を、点Ａと点Ｂのｘ座標であらわす式を求めよ。
ただし、点Ｐのｙ座標≠０とする。
【解答】
上図の様に点Ａ，Ｂ，Ｃの座標値を定義する。
各接線の傾きに関して以下の方程式３，４，５が成り立つ。
式６の解が式７になる。
式６を以下の様に変形する。
（解答おわり）
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【問】
上の曲線に直線が接する場合の接点Ａのｘ座標と、直線（接線）の傾きｋを求めよ。
【解答】
上式の様に、接線と曲線の微分係数を求める式３と式４を連立して、式５と式６を得た。
次に、式１と式２を連立して以下の式７を求め、それに式５を代入して計算する。
この式８によって、接点Ａのｘ座標が求められた。次に、この結果を式５に代入して接線の傾きｋを求める。
こうして、式９で、接点Ａでの接線の傾きｋが得られた。
接点Ａのｘ座標の解は、先に得た式８で与えられる。
（解答おわり）
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【問１】
三角形ＡＢＣの外接円Oを考える。∠Aの外角の二等分線が外接円Oと交わる点をPとする。
三角形ＰＢＣがＰを頂点とする二等辺三角形になることを証明しなさい。
【証明開始】
上図の様に、円周角の定理により
∠ＰＡＢ＝∠ＰＣＢ
また、拡張円周角の定理により、
第１の円周角の弦の反対側の弧上の第２の円周角の外角が第１の円周角に等しいので、
∠ＰＡＤ＝∠ＰＢＣ
である。
また、ＡＰは∠Aの外角の二等分線なので、
∠ＰＡＤ＝∠ＰＡＢ
である。
そのため、
∠ＰＢＣ＝∠ＰＡＤ＝∠ＰＡＢ＝∠ＰＣＢ
∴ ∠ＰＢＣ=∠ＰＣＢ
底辺側の２角が等しいので、三角形ＰＢＣはＰを頂点とする二等辺三角形である。
（証明おわり）
【別の証明】
直線ＡＰが∠ＢＡＣの外角の∠ＢＡＤの二等分線である。
更に∠ＢＡＣの二等分線が円Ｏと交わる点をＱとする。
∠ＢＡＣの二等分線ＡＰと、その外角の二等分線ＡＱの成す角は、
内角と外角の和の１８０度の半分の９０度になるので、
ＡＰとＡＱの成す角は９０度である。
そのため、三角形ＰＡＱは頂点Ａが直角である直角三角形である。
円Ｏに内接する直角三角形ＰＡＱにおいて、
斜辺ＰＱは円の中心Ｏを通る。
∠ＢＡＣの二等分線ＡＱにおいて、
∠ＢＡＱ＝∠ＣＡＱ
であり、角度の等しい円周角である。
そのため、円Ｏの弧ＢＱ＝ＣＱ
よって、ＯＱは弦の直線ＢＣの垂直二等分線である。
すなわち、ＰＱは、直線ＢＣの垂直二等分線である。
よって三角形ＰＢＣはＰを頂点とする二等辺三角形である。
（証明おわり）
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【問１】（難問）
点Ｏを原点とするＸＹ座標平面において、Ｙ軸上のＹ＝５の位置とＹ＝１の位置に点Ａと点Ｐがあり、
Ｘ軸上のＸ＝－２の位置とＸ＝６の位置に点Ｂと点Ｃがあり、
直線ＢＰと直線ＡＣの交点をＱとし、
直線ＣＰと直線ＡＢの交点をＲとするとき、
∠ＰＯＱ＝∠ＰＯＲ
となることを示しなさい。
【証明開始】
以下の様に直線ＢＱを高さ０の水平線と考え、その水平線上の各点の高さの比を（）の中に記載した図を書く。
この図から点Ａと点Ｃの水平線上の高さの比が４：（－４）＝１：（－１）であることがわかる。
そのため、下図のように、ＡＱ：ＱＣ＝１：１＝ｋ：ｋであることがわかる。
次に、直線ＲＣを高さ０の水平線と考え、その水平線上の各点の高さの比を（）の中に記載した図を書く。
この図から、点Ａと点Ｂの水平線上の高さの比が４：（－４／３）＝３：（ー１）であることがわかる。
そのため、下図のように、ＡＲ：ＲＢ＝３：１＝３ｓ：ｓであることがわかる。
これまで分かった線分の長さの比から、下図に示す点Ｑと点ＲのＸＹ座標を計算する。
点ＱとＲの座標と、直線ＯＱとＯＲの傾きが以下の様に計算できる。
直線ＯＱとＯＲの傾きの絶対値が等しいので、
∠ＰＯＱ＝∠ＰＯＲ
である。
（証明おわり）
【別の証明】
点Ｐを通りＢＣに平行な直線VSPTWを引く。
ＶＰとＰＷを求める。
三角形ＲＢＣを考えてＰＳを求める。
三角形ＱＢＣを考えてＰＴを求める。
（証明おわり）
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【問１】（難問）
円Ｏと、円Ｏの２つの直径ＡＢとＣＤが与えられている。
円Ｏ上の任意の点ＰからＡＢ，ＣＤに下ろした垂線の足をそれぞれＱ，Ｒとする。
線分ＱＲの長さが一定になることを証明しなさい。
【証明開始】
以下の様にＰＯを直径にする補助円Ｍを書き加えます。
（１）
補助円Ｍの直径ＰＯは、円Ｏの直径ＡＢの半分である。
そのため、補助円の直径の大きさは一定である。
（２）
∠ＰＱＯ＝９０°
なので、ＱはＰＯを直径とする円上にある。
（３）
∠ＰＲＯ＝９０°
なので、ＲはＰＯを直径とする円上にある。
（４）
∠ＱＰＲ＋∠ＱＯＲ＝１８０°
∠ＱＯＣ＋∠ＱＯＲ＝１８０°
∴ ∠ＱＰＲ＝∠ＱＯＣ
すなわち、Ｐの位置及び円Ｍの位置にかかわらず、
∠ＱＰＲ＝一定
である。
（５）
（１）～（４）により、
一定の大きさの直径ＰＯを持つ円Ｍ上の点Ｑ，Ｐ，Ｒに関して、
弦ＱＲは 一定の∠ＱＰＲを与える。
そのため、
その弦ＱＲの長さは、Ｐの位置が変わっても同じ、一定の長さである。
（証明おわり）
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以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
上の図のような、ＡＢ＝ＡＣ＝１の二等辺三角形ＡＢＣと、その頂角Ａと斜辺ＡＢを共有し∠Ｄが９０°の直角三角形ＡＢＤがある。
ＢＣ＝ｘ
ＡＤ＝ｙ
とするとき、
（１）ｘの値が分かっているときｙをｘであらわしなさい。
（２）ｙの値が分かっているときｘをｙであらわしなさい。
《解答手順》
図形問題では、先ず、足りない図形の補助線を埋め込み、同じ角度には同じ印を付け、なるべく対称な形に、図形を完成させる。その次に問題の解き方を考えるように心がけてください。
【解答】
まず、以下の様に、ＢＥ＝ＢＣとする補助線ＢＥを引きます。
これで生まれた三角形ＢＣＥは、三角形ＡＢＣに相似です。
△ＢＣＥ∽△ＡＢＣ
そのため、以下の式１の関係が成り立つ。
よって、ｙは式２のようにｘであらわせる。
一方、ｘは式４のようにｙであらわせる。
（解答おわり）
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上の式１の３次関数のグラフの点Ａでの接線と点Ｂでの接線の交点をＰとする。交点Ｐを通って式１の曲線に点Ｃで接する第３の接線ＰＣを考える。
式６の解が式７になる。
（解答おわり）
