2016年12月1日木曜日

3辺が定まった三角形の頂点の足の位置の証明

これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。

【問1】
上図の三角形ABCの頂点Aの足Dの左右へのずれを計算する上の式が成り立つことを証明せよ。

【解答】
右辺の分子の式を以下の式のように変形する。
(証明開始)
 
(証明おわり)

(補足1)
 この式は、下図の相似な三角形の辺の比が等しいことをあらわしている。下図の円は中心がAでAC=bを半径とする円である。
ここで、△BFE∽△BCGであることは以下の様に証明できる。
(証明開始)
「拡張円周角の定理と円周角の定理」の公式から、
∠BEF=∠FGC=∠BGC
が導かれ、
それゆえ、
△BEF∽△BGC
であることが分かる。
(証明おわり) 

(補足2) 
この問題は、以下の、拡張三平方の定理の式を導き出す問題と同等な問題です。
【拡張三平方の定理】
 計算の途中の式を、三角形の辺の二乗の引き算の公式で簡単化した以下の図と式で、拡張三平方の定理を導き出し易くしたら良いと考えます。
 (以上が、拡張三平方の定理)

【三角形の辺の二乗の引き算の公式】
 (以上が、辺の二乗の引き算の公式)
 この、三角形の辺の二乗の引き算の公式は、以下の図の正方形①②③を心が思い描いて心が公式を導き出すので、覚え易い(導き出し易い)です。

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