３点が１直線上にある証明

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　平行四辺形ABCD内の1点Pを通り,各辺に平行線を引き辺AB,CD,BC,DAとの交点を,順にQ,R,S,Tとする。2直線QS,RTが点Oで交わる時,3点O,A,Cは1つの直線上にあることを示せ。


《解答方針》
　この問題をメネラウスの定理の逆を用いて３点が一直線上にあることを証明する証明方法が良く知られています。
このページでは、その証明方法は使わず、もっと問題の本質を的確に把握して証明する、ベクトルの概念を用いた証明方法を示します。

【解答】
AT=QP=BS=x,
TD=PR=SC=y,
AQ=TP=DR=s,
QB=PS=RC=t,
とする。

水平線をOTRとして、その水平線上の点Aと点Pと点Cの高さの比は：
平行する２つの線分ＴＡとＲＰを考え、
点Aの高さ→ｘ，
点Ｐの高さ→ｙ，
（点Ｐの高さ）／（点Ａの高さ）＝(y/x),
になる。

また、
平行する２つの線分ＲＣとＴＰの長さの比が
(RC/TP)=(t/s)であるので、
（点Ｃの高さ）／（点Ｐの高さ）＝(t/s),
よって、
（点Ｃの高さ）／（点Ａの高さ）＝｛（点Ｃの高さ）／（点Ｐの高さ）｝｛（点Ｐの高さ）／（点Ａの高さ）｝
＝(t/s)(y/x)
＝(yt)/(sx), 　　(1)

一方で、
水平線をOQSとして、その水平線上の点Aと点Pと点Cの高さの比は：
平行する２つの線分ＱＡとＳＰを考え、
点Aの高さ→s，
点Ｐの高さ→t，
（点Ｐの高さ）／（点Ａの高さ）＝(t/s),
になる。

また、
平行する２つの線分ＳＣとＱＰの長さの比が(SC/QP)=(y/x)であるので、
（点Ｃの高さ）／(点Ｐの高さ)＝(y/x),
よって、
（点Ｃの高さ）／（点Ａの高さ）＝｛（点Ｃの高さ）／（点Ｐの高さ）｝｛（点Ｐの高さ）／（点Ａの高さ）｝
＝(y/x)(t/s)
＝ (yt)/(sx), 　　(2)

直線OTRを水平線（基準線）とした基準線からの高さの比(式1)も、
直線OQSを水平線（基準線）とした基準線からの高さの比(式2)も同じ(yt)/(sx)であった。

ベクトルOAとOCを以下の式であらわす。

そうすると、
直線OTRを基準（水平線）にした、（点Ｃの高さ）／（点Ａの高さ）は、f/w,
直線OQSを基準（水平線）にした、（点Ｃの高さ）／（点Ａの高さ）は、e/u,
になる。
ここで、式(1)と式(2)から、その高さの比は等しく(yt)/(sx)であった。
ゆえに、
f/w=e/u=(yt)/(sx),
そのため、ベクトルOCは、ベクトルOAの(f/w)倍の大きさの、ベクトルOAに平行なベクトルである。
よって、点Ｏ，Ａ，Ｃは一直線上にある。
（証明おわり）

《ここをクリックして得るpdf》
　この設問では無いのですが、３点が一直線上にある事を示す種々の方法の事例が書いてあります。

リンク：
メネラウスの定理の証明：線の垂直線への射影の利用
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確率の問題を空試行を考えて解く

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
　下の図のような格子状の道がある。スタートの場所Ａから出発し，コインを 投げて，表が出たら右へ 1 区画進み，裏が出たら上へ 1 区画進むとする。
ただし，右の端で表が出たときと，上の端で裏が出たときは動かないものとす る。
　この試行を行なうとき、以下の問いに答えよ。
(1)　8 回コインを投げ てもゴールＢに到達できない確率を求めよ。

　
【空試行を考えた解答１】
　先ず、全試行のうちの１つの事象を数列で表します。
表が出る場合を１とし、裏が出る場合を０とすると、
８回以内でゴールに到達する全ての場合は、
以下の３通りがあります。

（７回でゴールに達する場合）の事象の連鎖：
(1,1,1,0,0,0,1)
(1,1,1,0,0,1,0)
(1,1,1,0,1,0,0)
(1,1,1,1,0,0,0)
・・・

通りがあります。

（８回でゴールに達する場合（その１））の事象の連鎖：
８回目の試行の事象が０になる事象の連鎖。
(1,1,1,1,0,0,1,0)
(1,1,1,1,0,1,0,0)
(1,1,1,1,1,0,0,0)
・・・

通りがあります。

（８回でゴールに達する場合（その２））の事象の連鎖：
８回目の試行の事象が１になる事象の連鎖。
(1,1,0,0,0,0,1,1)
(1,1,0,0,0,1,0,1)
(1,1,0,0,1,0,0,1)
・・・

通りがあります。

　７回でゴールに達する場合を、既にゴールに達した後でもコインを投げる空試行も加えると、８回の試行で表された事象の連鎖として表すことができます。そうすることで、その８回の試行の事象の連鎖が生じる確率が、８回でゴールインする場合の８回の試行の事象の連鎖の生じる確率と、同様に確からしくなります。
(空試行の追加その１)の事象の連鎖：
８回目の試行の事象が１になる事象の連鎖。
(1,1,1,0,0,0,1,0)
(1,1,1,0,0,1,0,0)
(1,1,1,0,1,0,0,0)
(1,1,1,1,0,0,0,0)
・・・

通りと、
(空試行の追加その２)の事象の連鎖：
８回目の試行の事象が１になる事象の連鎖。
(1,1,1,0,0,0,1,1)
(1,1,1,0,0,1,0,1)
(1,1,1,0,1,0,0,1)
(1,1,1,1,0,0,0,1)
・・・

通り、
があります。

８回でゴールに達する場合（その１）の事象の連鎖に、７回でゴールに達した後でコインを投げる空試行の追加その２の場合の事象の連鎖を加えると、
以下の、1が５つと０が３つの場合の全事象が得られる：
８回でゴールに達する場合（その１）の事象の連鎖：
(1,1,1,1,0,0,1,0)
(1,1,1,1,0,1,0,0)
(1,1,1,1,1,0,0,0)
・・・
(７回で達する場合に空試行の追加その２)の事象の連鎖：
(1,1,1,0,0,0,1,1)
(1,1,1,0,0,1,0,1)
(1,1,1,0,1,0,0,1)
(1,1,1,1,0,0,0,1)
・・・

通りがあります。

８回でゴールに達する場合（その２）の事象の連鎖に、７回でゴールに達した後でコインを投げる空試行の追加その１の場合の事象の連鎖を加えると、
以下の、1が４つと０が４つの場合の全事象が得られる：
８回でゴールに達する場合（その２）の事象の連鎖：
(1,1,0,0,0,0,1,1)
(1,1,0,0,0,1,0,1)
(1,1,0,0,1,0,0,1)
・・・
(７回で達する場合に空試行の追加その１)の事象の連鎖：
(1,1,1,0,0,0,1,0)
(1,1,1,0,0,1,0,0)
(1,1,1,0,1,0,0,0)
(1,1,1,1,0,0,0,0)
・・・

通りがあります。

その２つの場合を合わせて計算することで、
８回以内でゴールＢに到達する全ての場合の確率が以下の式で計算できる。

そのため、8 回コインを投げ てもゴールＢに到達できない確率は、以下の式で計算できる。

（解答おわり）

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三角形の２辺と１つの角から残りの辺を求める

これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。

【問１】

上図の三角形ＡＢＣの長さｂを求めよ。

【解答】
　この問題は、３辺の２乗を使う余弦定理を用いて、長さｂを計算することもできる。しかし計算間違いをし易い計算になる。

【余弦定理を使うよりも楽な解き方】
　以下の様に計算すると、それよりも楽に計算ができる。

【解答はじめ】
　以下の様に補助線を引いて直角三角形ABHを作って計算します。

①②③④の順に長さを求めて、 ｂ＝AC＝２, を計算する。
（解答おわり）

（補足）
　この解き方を高校生が知ると、毎回この解き方で解き、余弦定理を使わないので、余弦定理を覚えさせるためにこの解き方は高校の先生には望まれていないようです。
　しかし、真剣勝負の場では、すなわち大学受験や、校外の模擬試験では、もちろん楽な解き方の方が良いので大いに使ってください。

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無理関数の式への因数分解の公式

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【問題１】以下の等式(1)を証明せよ。


【解答】

（証明おわり）

【問題１（ｂ）】以下の等式(１ｂ)を証明せよ。


【解答】

（証明おわり）

【問題２】以下の等式(２)を証明せよ。


【解答】

（証明おわり）

【問題３】以下の等式(３)を証明せよ。


【解答】

（証明おわり）

なお以下の式も成り立つ。


【問題４】以下の等式(４)を証明せよ。


【解答】

（証明おわり）

【問題５】以下の等式(５)を証明せよ。


【解答】

（証明おわり）

【問題６】以下の等式(６)を証明せよ。


【解答】

（証明おわり）

【問題７】以下の等式(７)を証明せよ。


【解答】

（証明おわり）

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技巧的な、無理関数の方程式の解き方（その２）

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【問題１】以下の方程式（式(1)）を簡単な方程式に変換せよ。


【解答】
《式(1)の形の無理関数の方程式は、この式を変形した式の両辺を２乗して計算すれば解けるが、そうするよりは、以下のように変数ｓを導入して解くと計算が楽になる》
　先ず、以下の式で表す変数ｓを導入して、以下のように計算を進める。


上式の様に方程式が簡単になった、
（解答おわり）

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技巧的な、無理関数の方程式の解き方

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【問題１】以下の方程式（式(1)）のｘの解を求めよ。

ただし、A>0, B>0, k>0, であるものとする。

【解答】
《式(1)の形の無理関数の方程式は、この式を変形した式の両辺を２乗して計算するのでは無く、以下のように変数ｓを導入すると解き易くなる》
　先ず、以下の式で表す変数ｓを導入して、以下のように計算を進める。



（解答おわり）

《補足》
　式(11)の形を見ると、
もし、 式(1)が、AとBが、互いに比例するｘの整式の場合でも解けることが分かる。すなわち、その様な形をした一見複雑に見える式(1)であっても、式(11)の解が得られるので、その式(11)を変形することでｘの解を求めることができることが分かる。

【問題２】以下の方程式（式(1)）のｘの解を求めよ。

ただし、A>0, B>0, p>0, であるものとする。

【解答】
　式(1)の形の無理関数の方程式は、以下の形に式を変形できる特徴がある。

この式(2)は、問題１の式(1)と同じ式である。こうして、この問題２は、問題１に帰着して解く事ができる。これ以降の計算は問題１の解答と同じなので、計算を省略する。

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3次方程式の3つの解が全て実数解である条件

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【課題】以下の３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件を導き出せ。

（課題おわり）

【解１】
《式(1)の関数f(x)の３次方程式の解を求める問題は、変数ｘを以下の変数ｔに変換して関数f(x)を、以下の式(2)の形の関数g(t)に変換して解くのが定石である。》
ｘ＝ｔ－(a/3),
　その関数g(t)の表すグラフY=g(t)の形を描くと以下の図が描ける。

y=g(t)のグラフが上図の様に２つの極値（極小値と極大値）を持って、極大値の点のｙ座標が正であり、極小値の点のｙ座標が負であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点で交わる。その場合に式１の解が、その３つの交点の t 座標を表す。
　先ずは、以下の計算により、関数g(t)の係数を導き出す。

　これで準備が出来たので、グラフが２つの極値を持つ条件を導き出す。それは、関数g(t)を微分した関数g'(t)が０になる点が２つあることである。その２つの点の t 座標は方程式(3)で求められる。方程式(3)の解は以下の式で計算できる。

方程式(3)が２つの解を持つ条件は上の式(4)である。そして、式(4)の条件が成り立つ場合の方程式(3)の解の t の値は、以上の２つの値、t1とt2である。

この２つの値の t 座標の点のｙ座標の値が、先頭の図のグラフの極値のｙ座標が負と正の値であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点と交わる。また、この２つの点のｙ座標の積が負である条件だけでも t 軸と３つの点で交わる。そのため、この２つの点のｙ座標を計算して、それらの積を計算することで、それを判別する条件式を求める。

先ず、g(t1)を計算する。

g(t2)も、同様にして、以下の式(6)で表せる。

この２つのｙ座標の積に、以下のように負の係数を掛け算した値が正になることが求める条件式である。

この式(7)が、3つの解が全て実数解である条件である。（なお、Ｄ1が０になることが３次方程式の重解を調べる判別式である）。式(7)をよく見ると、式(7)が満足されるならば、 式(4)で表された前提条件（ｓ＞０）も満足される事がわかる。

　判別式(7)の左辺Ｄ1 は、元の式(1)の係数で表し、更に係数を変えると式(8)であらわすＤ2 になる。この式(8)＝Ｄ2 の値が正であることが、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
　式(8)＝Ｄ2 を２７で割り算してＤ3 を得る。

この式(9)が、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
（解１おわり）

【解２】
　解答１の定石の解き方をしない場合には、以下のように計算が面倒になる。

　この３次方程式の関数f(x)の表すグラフY=f(x)の形を描くと以下の図が描ける。

y=f(x)のグラフが上図の様に２つの極値（極小値と極大値）を持って、極大値の点のｙ座標が正であり、極小値の点のｙ座標が負であれば、グラフはＸ軸と３つの異なる点で交わる。その場合に式１の解が、その３つの交点のｘ座標を表す。
　そのため、先ず、グラフが２つの極値を持つ条件を導き出す。それは、関数f(x)を微分した関数f'(x)が０になる点が２つあることである。その２つの点のｘ座標は方程式(2)で求められる。方程式(2)の解は以下の式で計算できる。

この方程式(2)が２つの解を持つ条件は以下の式(3)である。

この式(3)の条件が成り立つ場合の方程式(2)の解は、以下の計算で求められる。

この解のｘ座標をx1とx2として以下の式で表す。

この２つのｘ座標の点のｙ座標の値が、先頭の図のグラフの極値のｙ座標の値である。その２つの点のｙ座標の値が負と正であれば、グラフはＸ軸と３つの異なる点と交わる。また、この２つの点のｙ座標の値の積が負であるという条件だけでも、グラフはX軸と３つの点で交わる。そのため、この２つの点のｙ座標を計算して、それらの積を計算することで、それを判別する条件式を求める。

先ず、f(x1)を計算する。



f(x2)も、同様にして、以下の式(5)で表せる。

この２つのｙ座標の積に、以下のように負の係数を掛け算した値が正になることが求める条件式である。

この式が、3つの解が全て実数解である条件である（解その１）。
　次に、この式D1を展開した式を計算する。

この計算の結果、以下の式(7)の解（解その２）が得られた。


この解の式(7)は、解その１の解の式(9)と同じである。解その１の式(7)を見ると、解その１の式(4)で表された前提条件は、解その１の式(7)が満足されるならば、その式(4)も満足される事が示せた。

よって、解その２の式(7)は、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
（解２おわり）

（補足）以上のようにして、高校数学の範囲で、かろうじて、３次方程式の解の判別式を導き出すことができた。しかし、この問題は、このようにして高校数学の視点に基づいて解を求めるよりは、大学数学の、新たな視点から見た判別式の概念を用いて解を得る方が良い。その方が数学の視野が広がるからです。
　ここをクリックした先の「三次方程式の判別式の意味と使い方」のサイトに、その新たな視点から見た判別式の概念が説明されている。


【解３】
　式(1)の関数f(x)の３次方程式を関数ｇ(x) にかかわる以下の式(2)に変形して、この問題を、関数g(x)の表すグラフｙ=ｇ(x) と直線ｙ＝ｋｘとの交点を求める問題であると解釈する。

y=ｇ(x) のグラフとｙ＝ｋｘとの交点の数は、あるｋの値で両グラフが接すると、その値よりも直線の傾きの値のｋが大きければ交点の数が多く（３つに）なる。そのため、ｙ＝ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接する場合のｋの値ｋと、その接点のｘ座標とを求める。その接点では、式(3)であらわす曲線ｙ＝ｇ(x) のグラフの傾きｇ’(x) がｙ＝ｋｘの直線の傾きｋに等しくなり、以下の式(4)が成り立つ。
　先ずは、以下のように、式(2)と式(4)を連立して関数ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接するｋの値と接点のｘ座標とを求める。

　この方程式(6)を解くと接点のｘ座標が求められる。
（この３次方程式(6)は、３次方程式(1)から、微分を利用して、係数ｋを除去してあらわした、式(1)が重解を持つ場合の点をあらわす、式(1)よりもシンプルな優れた方程式である。）

この３次方程式における３次式ｐ(x) が以下の場合（Case1とCase2）で因数分解できた場合は、それぞれの場合で、ｋの範囲が求められる。Case１の場合では、接点の条件が式(8)である。その結果、式(9)が、方程式(1)が異なる３つの実数解を持つ条件（解答）である。

Case１の場合は、式(9)の解になる。

（Case2）の場合のｋの値の範囲が上記のようになる理由は以下の理由による。

-------〔Case２の理由〕-------
　ｋの解が３つある場合に、以下の図で示した関係がある。

ここで、図のｙ＝ｇ(x)のグラフの形 と、ｙ＝ｋ・ｘのグラフの形から、両グラフの接点のｘ座標が異なれば、接点の傾きｋの値も異なることがわかる。
　そのため、α≠βならばｈ(α)≠ｈ(β) であることがわかる。その他のαとγの関係も、βとγの関係も同様である。そして、０＝ｐ(ｘ)の式(6)のｘの解が異なる３個あれば、グラフの接点の傾きｋの解も異なる３個あることがわかる。
-------〔Case２の理由おわり〕-------
（解３おわり）

なお、３次方程式(6)の解（グラフの接点のｘ座標値）を経由しないで、ｋの条件式を求めるためには、以下のように計算する。

となる（ここをクリックした先のページが参考になる）。上記のｋの３次方程式は、式(4)を介して、式(6)のｘの３次方程式と等価です。式(6)の３次方程式は、式(1)の解の個数が変わる境目のｋの値を与える３次方程式を、ｘを介して解き易くした方程式であると位置付けられる。
　以下で、ｋの条件式を求める計算の詳細を説明する。

《グラフの接点のｘ座標の３次方程式(6)からｋの３次式を導出する》


最大の分母を式全体に掛け算する。

こうして、ｘを消去したｋの３次方程式(10)が得られた。このｋの３次方程式(10)は【解１】で計算したＤ3＝0 の式と同じ式である。このｋの３次方程式(10)を解いてｋをを求めるよりは、３次方程式(6)を解いて接点の座標ｘを求めてから、式(4)を使って、接点の座標ｘからｋを求める方が解き易かった。
　更に、この式(10)のｋの３次方程式のｋの解の数は調べにくい。その一方で、そのｋの解の数は、解き易い３次方程式０＝ｐ(ｘ) の式(6)のｘの解の数で与えられる。

【問題１】以下の３次方程式（式(1)）の解が３つの異なる実数解になるｋの値の範囲を求めよ。

（問題１おわり）

【解１】
式(1)の関数f(x)の３次方程式の変数ｘを以下の変数ｔに変換して関数f(x)を、以下の式(2)の形の関数g(t)に変換して解く。
　その関数g(t)の表すグラフY=g(t)の形を描くと以下の図が描ける。

y=g(t)のグラフが上図の様に２つの極値（極小値と極大値）を持って、極大値の点のｙ座標が正であり、極小値の点のｙ座標が負であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点で交わる。その場合に式１の解が、その３つの交点の t 座標を表す。
　先ずは、以下の計算により、関数ｆ(x) を関数g(t)に書き換える。

　これで準備が出来たので、グラフが２つの極値を持つ条件を導き出す。それは、関数g(t)を微分した関数g'(t)が０になる点が２つあることである。その２つの点の t 座標は方程式(3)で求められる。方程式(3)の解は以下の式で計算できる。

方程式(3)が２つの解を持つ条件は上の式(4)である。そして、式(4)の条件が成り立つ場合の方程式(3)の解の t の値は、以上の２つの値、t1とt2である。

この２つの値の t 座標の点のｙ座標の値が、先頭の図のグラフの極値のｙ座標が負と正の値であれば、グラフは t 軸と３つの異なる点と交わる。また、この２つの点のｙ座標の積が負である条件だけでも t 軸と３つの点で交わる。そのため、この２つの点のｙ座標を計算して、それらの積を計算することで、それを判別する条件式を求める。

先ず、g(t1)を計算する。

g(t2)も、同様にして、以下の式(6)で表せる。

この２つのｙ座標の積に、以下のように負の係数を掛け算した値が正になることが求める条件式である。

この式(7)が、3つの解が全て実数解である条件である。式(7)を見ると、最初に得られた式(4)で表された前提条件は、式(7)が満足されるならば、その式(4)も満足される事が示せた。

　判別式(7)の左辺Ｄ1 は、元の式(1)の係数で表し、更に係数を変えると式(8)になる。この式(8)のＤ2 の値が正であることが、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
　式(8)を更に変形する。

この３次式ｐ(k) が正になれが式(8) が成り立つ。
以下で、この３次式ｐ(k) を因数分解する。（この設問は、この３次式ｐ(k) が容易に因数分解できるように、問題が作られている。通常の場合では３次式の因数分解は容易ではない）
このｐ(k) の式にｋ＝１を代入するとｐ(1)＝０になる。そのため、３次式ｐ(k) は、（ｋ－１）で割り切れることがわかる。

この式(10)が、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）である場合の条件である。
（問題１の解１おわり）

【解２】
　式(1)の関数f(x)の３次方程式を関数ｇ(x) にかかわる以下の式(2)に変形して、この問題を、関数g(x)の表すグラフｙ=ｇ(x) と直線ｙ＝ｋｘとの交点を求める問題であると解釈する。

y=ｇ(x) のグラフとｙ＝ｋｘとの交点の数は、あるｋの値で両グラフが接すると、その値よりも直線の傾きの値のｋが大きければ交点の数が多く（３つに）なる。そのため、ｙ＝ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接する場合のｋの値ｋと、その接点のｘ座標とを求める。その接点では、式(3)であらわす曲線ｙ＝ｇ(x) のグラフの傾きｇ’(x) がｙ＝ｋｘの直線の傾きｋに等しくなり、以下の式(4)が成り立つ。
　先ずは、以下のように、式(2)と式(4)を連立して関数ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接するｋの値と接点のｘ座標とを求める。

　この方程式(5)を解くと接点のｘ座標が求められる。

-------〔注意点〕-------
　方程式(5)を計算すると接点のｘ座標を求めることができるが、方程式(5)のｘの解が複数（例えば３つ）あれば、接点が３つあることになる。その場合は、その接点を与える直線ｙ＝ｋｘの傾きｋに応じて、方程式(2)単独でのグラフの交点の数が変わるので注意する必要がある。

-------〔注意点おわり〕-------

３次方程式(5)の解が接点のｘ座標である。
以下で、この３次方程式における３次式ｐ(x) を因数分解する。（この設問は、この３次式ｐ(x) が容易に因数分解できるように、問題が作られている。通常の場合では３次式の因数分解は容易ではない）
　このｐ(ｘ) の式にｘ＝１を代入するとｐ(１)＝０になる。そのため、３次式ｐ(ｘ) は、（ｘ－１）で割り切れることがわかる。

式(5)の解のｘ＝１を式(4)に代入して、グラフが接する場合のｋの値＝１が式(7)で求められた。
　そのｋ＝１の値で両グラフが接するので、その値よりも直線の傾きの値のｋが大きければ、y=ｇ(x) のグラフとｙ＝ｋｘとの交点の数が多く（３つに）なる。
　そのため、ｋの値が１より大きく（ｋ＞１）、ｋが式(8)の範囲になることが、３次方程式（式(1)）の３つの解が全て実数解（３つの異なる実数解）になる条件である。
（問題１の解２おわり）

《補足》
　解２の解き方は、【課題】の【解３】で示した解き方である。解２では、解１よりも簡単な３次方程式を解く解き方になり解き易かった。解１で解いた３次方程式も解けなければならない。（解２の３次方程式は、解１の３次方程式を２つのグラフの接点の座標のｘの値を介して表した、等価な３次方程式である）。微分を利用した解２の解き方の方が、解１よりも、計算の手順が少なく、解に至る手順がシンプルになった優れた解き方である。

【問題２】以下の３次方程式（式(1)）の解が３つの異なる実数解になるｋの値の範囲を求めよ。

（問題２おわり）

【解１】
　式(1)の関数f(x)の３次方程式を関数ｇ(x) にかかわる以下の式(2)に変形して、この問題を、関数g(x)の表すグラフｙ=ｇ(x) と直線ｙ＝ｋｘとの交点を求める問題であると解釈する。

y=ｇ(x) のグラフとｙ＝ｋｘとの交点の数は、あるｋの値で両グラフが接すると、その値よりも直線の傾きの値のｋが大きければ交点の数が多く（３つに）なる。そのため、ｙ＝ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接する場合のｋの値ｋと、その接点のｘ座標とを求める。その接点では、式(3)であらわす曲線ｙ＝ｇ(x) のグラフの傾きｇ’(x) がｙ＝ｋｘの直線の傾きｋに等しくなり、以下の式(4)が成り立つ。
　先ずは、以下のように、式(2)と式(4)を連立して関数ｇ(x) のグラフと直線ｙ＝ｋｘとが接するｋの値と接点のｘ座標とを求める。

　この方程式(6)を解くと接点のｘ座標が求められる。
以下で、この３次方程式における３次式ｐ(x) を因数分解する。（この設問は、この３次式ｐ(x) が容易に因数分解できるように、問題が作られている。通常の場合では３次式の因数分解は容易ではない）
　このｐ(ｘ) の式にｘ＝1/4 を代入するとｐ(1/4)＝０になる。そのため、３次式ｐ(ｘ) は、（ｘ－(1/4)）で割り切れることがわかる。

式(6)の解のｘを式(5)に代入して、各接点のｘの値に対応するｋの値を計算する。


ｋの値の範囲の解が上記の範囲になる理由は以下の理由による。

-------〔ｋの範囲の解の理由〕-------
　ｋの解が３つある場合に、以下の図で示した関係がある。

-------〔ｋの範囲の解の理由おわり〕-------
（問題２の解１おわり）

【解２】
　式(1)の関数f(x)の３次方程式を以下の式(2)に変形して、この問題を、関数ｈ(x)の表すグラフと直線ｙ＝ｋとの交点を求める問題であると解釈する。

そして、関数ｈ(x) の極値を求めるために、ｈ(x) を微分して、微分係数が０になるｘの値を求める。

式(4)のｐ(x)＝０とする極値を求める方程式は、解１の式(7)を０にする式と同じ式である。後は、解１と同様に計算して解を求める。
（以降の解答を省略）

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３次方程式が重根を持つ条件
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