複素数平面での軌跡の問題

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【問１】実数の媒介変数ｔを－∞から∞まで変化させたとき、
ｚ＝ｉ・ｔ　（式１）
であらわされる複素数ｚを使って、以下の式で表される複素数ｗの、複素数平面で描く軌跡を示せ。


【解答方針】
（第１優先事項）
　複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにする。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の変数であらわされた方程式は、複素数の変数を直に変換する計算ではつながない。そうせずに、図形の考察を主にした座標の計算を使えば何とか複素数平面の問題が解けるので、それを第１優先にする。

【解答】
以下の図を描いて考える。

この図から、複素数ｗの、複素数平面で描く軌跡は双曲線になりそうだと予測する。
　次に、以下の計算によって、その予測を確認する。

式(2)の複素数ｗは、式(7)によって、双曲線をあらわすことがわかった。
（解答おわり）
　
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（５）複素数平面での軌跡

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【問１】実数の媒介変数ｔを－∞から∞まで変化させたとき、
ｚ＝１＋ｉ・ｔ　（式１）
であらわされる複素数ｚが複素数平面で描く軌跡を示せ。

【問２】実数の媒介変数ｔを－∞から∞まで変化させたとき、
ｚ＝１／（１＋ｉ・ｔ）　（式２）
であらわされる複素数ｚが複素数平面で描く軌跡を示せ。

（解答）

【問１の解】
式１の複素数ｚは、上図のように、ｚ＝１の点を通り、実軸に垂直な直線上にある。

【問２の解】
式２の複素数ｚは、上図のように、ｚ＝０とｚ＝１とを直径の両端とする円の上にある。
ただし、ｚ＝０の点は通らない。

それを以下で証明する。
（証明開始）
ｚは、 ｚをあらわす複素数平面での点Ｃに関して、
｜ｚ｜＝線分ＯＣ＝１／｜（１＋ｉ・ｔ）｜＝１／線分ＯＡ
であるから、
ＯＣ／ＯＢ＝ＯＢ／ＯＡ
であり、
△ＢＯＣの２辺ＯＣとＯＢの辺の長さが△ＡＯＢの２辺ＯＢとＯＡから同じ比で縮小されている。
また、
ａｒｇ（ｚ）＝－∠ＢＯＣ＝－ａｒｇ（１＋ｉ・ｔ）＝－∠ＡＯＢ
であるから、
△ＢＯＣの２辺ＯＣとＯＢの間の角が、△ＡＯＢの２辺ＯＢとＯＡの間の角と等しい。
∴　△ＢＯＣ∽△ＡＯＢ
そのため、
∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＡ＝∠Ｒ＝９０度
∠ＯＣＢは常に９０度なので、
Ｃ点は、ＯＢを直径とする円周上にある。
ただし、式２のｚは０では無いので、ｚ＝０の点は通らない。
（証明おわり）

（別解）
以下のようにして証明することもできる。

（注意）上のようにｔの値にかかわらず｜分子／分母｜＝１となる式、（１－ｉ・ｔ）／（１＋ｉ・ｔ）を作ることがポイント。
よって、

よって、
｜ｚ－（１／２）｜＝１／２
よって、ｚは、値（１／２）を中心にする、半径（１／２）の円上にある。
ただし、ｚは０では無いので、値０にはならない。
（証明おわり）

【一番簡単な方法】
　ここをクリックした先に、（ｉｔ）単体をｚの式であらわして、そのｚの式に（ｉｔ）単体の満たす条件をあてはめて計算する方法を示します。
　
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４次式の因数分解の問題の解答

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【問１】
　以下の式Fを因数分解せよ。


【解１】
　以下のように因数分解する。

Fの式(2)に代入する。

（解答おわり）

【解２】
　以下のように因数分解する。

式(2)の第１項を以下のように因数分解する。

式(2)の第２項を以下のように因数分解する。

式(3)と式(4)をＦの式(2)に代入する。

（解答おわり）

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三角形の底辺aと面積Sと頂角Aから辺の長さを求める

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【問１】
　以下の三角形の底辺ａの長さと頂角Ａの余弦ｔと面積Sから辺の長さｘ，ｙを求めよ。

　
【解答１】
余弦定理を使って以下のように計算する。

（注意）４次方程式の解き方は、先に「二重根号を外す因数分解の問題」のページを勉強しておいた方が良いと思います。




このｘの解の一方がｘの解であり、他方がｙの解である。
（解答１おわり）

（補足）
ここで、以下の条件の場合は、ｘ，ｙは以下の式になる。

更に、ｋ＝ 1/24になると、ｘはもっと簡単な式で表される。

【解答２】
　以下のように、解の構造を分析して解く解き方もできます。


以上の図のような式で三角形の辺ｂ,ｃがあらわせる。
この辺ｂ，ｃをａ，Ｓ，θで表す計算をする。

ここで、以下の計算でcosαとsinαを計算する。

このcosαとsinαを式(2)(3)に代入して。ｂとｃの解を求める。

  すなわち、     

（解答２おわり）

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ベクトルの問題は図形を描いて解くこと

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【問１】
　平面上の３つのベクトル

が、

を満たしている。ただし、p,qは正の数でp≠qとする。

を、

を用いて表せ。
（問題おわり）

《解答方針》
　ベクトルの問題は、本質的には、ベクトルという表現手段を使った図形の問題です。
そのため、ベクトルの問題を解く定石は、図を描いて問題を解きます。
　ベクトルの式の演算で解くよりは、図形の定理を使って解を導く方が計算間違いが少ない良い解き方です。

　この問題では、大きな紙に、ベクトルｃを直径とする円を描いて、その図に以下の様にしてベクトルaとベクトルｂを書き込んで行って図を完成させて問題を解く。

【解答】

先ず、大きな紙にベクトルｃを直径とする円を描いて、ベクトルの始点を０とし終点をＣとする。

直線ＯＣを水平線にして描く。
その円周上に、点Ｏからの距離√pの位置に点Ａを置き、

とする。
三角形ＯＡＣが直角三角形になるので、

が成り立つ。
また、
円周上に、点Ｏからの距離√qの位置に点Ｂを置き、

とする。
三角形ＯＢＣが直角三角形になるので、

が成り立つ。
（場合１）上図では、水平線ＯＣの上と下との円周上に点ＡとＢを置いた。
これを場合１とする。

（場合２）下図では、水平線ＯＣの上の円周上に点ＡとＢを置く。
これを場合２とする。

場合２の問題では、後に説明するように、補助線を引いて、平行四辺形ＯＢＡＤを描いて解く。

（場合１）

　ベクトルａとｂが直交する場合を解く。ベクトルｂはベクトルＡＣと等しい。
よって、ベクトルａとｂが垂直な場合では、

が成り立つ。
（場合１の解おわり）

（場合２）

　場合２の問題では、水平線ＯＣの上の円周上に点ＡとＢを置く。ベクトルａとｂは垂直ではない。
　そのように作図すると、ベクトルＢＡが水平線ＯＣに平行になる。それは、ベクトルａの、ベクトルｃに垂直な成分の大きさが、ベクトルｂでのその成分と同じ大きさであることを意味する。そのため、補助線を引いて平行四辺形ＯＢＡＤを描くと、ベクトルＢＡに平行なベクトルＯＤが、ベクトルＯＣに平行になる。
そのため、以下の計算で、ベクトルＯＤの長さを求める。

この値の逆数でベクトルＯＤをベクトルＯＣの長さまで拡大することでベクトルｃが得られる。
よって、ベクトルａとｂが垂直で無い場合に、

が成り立つ。
（場合２の解おわり）

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tan(x/2)で置換積分して最適な積分変数を求める

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

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▷【別解】大学数学で学ぶ複素関数を用いた複素積分

【問１】
以下の不定積分を求めよ。


【解の第１段階】
　この問題を解く第１段階として、
tan(x/2)=ｕとする変数ｕを導入して以下の様に解く。
（変数ｕを導入する考え方）
tan(x/2)=ｕ
とする変数ｕを導入する場合は、
「ここをクリックした参考サイトの様な解き方」
をすると、
x/2=π/2の点で、
tan(x/2)の値が無限大になってしまうので、
その点を含む x の区間では積分できない
という問題がある。
（ここをクリックした先の「広義積分を必要とする積分の例」を参照）

　しかし、それを改善する手段がある。
（１）　tan(x/2)が無限大になってその点のｘで積分できないので、不定積分の変数ｘの定義域を、そのｘの点を境界点にしたその境界点以外の左側の区間を第１の不定積分の変数ｘの定義域にする。また、その境界点以外の右側の区間を第２の不定積分の変数ｘの定義域にする。そのように、定義域が異なる２つの不定積分の解を求める。
（２）　そのように定義域がバラバラな不定積分の解同士が、そのｘの境界点で、不定積分の有限な値の極限値があり、そのｘの境界点で、第１と第２の不定積分の解が接続できる場合は、そのｘの境界点での極限値をその不定積分の関数の値として定義する。それは広義積分と呼ばれている。広義積分をすることを明確にするために、以下の説明文を解答に加える。
「この不定積分の関数F(x)でのcos(x/2)→0となる変数ｘの極限でのF(x)の極限値を、そのｘの値でのF(x)の値と定義する」
　そして、ｘの境界点の左右の区間をつないで一体化して１つの区間にし、その区間を第１と第２の不定積分を合体させた関数F(x) の定義域にする。こうして、元の関数ではxの値が定義されていたが、tan(x/2)=ｔとする変数ｔを導入することで潰された変数xの値を、広義積分によってそのｘの点での関数F(x)の値を定義することでそのｘの点を定義域に復活させる。また、関数F(x) の定義域の区間を拡大する。

　以下で、その方法により解く。

【第１段階開始】
　この問題を、
tan(x/2)=uとする変数uを導入して以下の様に解く。


〔変数ｘの第１の定義域の不定積分〕
　以下のように、変数ｘを変数ｕに置き換えて置換積分する。その置換積分に対応して、置換積分をする変数ｘと変数ｕの範囲を定義し、計算の準備をする。得られる不定積分の関数は、式(3)で与えられる定義域の範囲の関数である。



次に、以下の置換積分の計算をする。


ここで、再度変数を変換して置換積分の計算をする。


ここで、式(8)と(2)によって、変数θと変数ｘとを結びつける式を整理する。

この式の両辺を２乗する。

この式(13)は、式(3)で制限された範囲の変数ｘによっては、分母が０にならない。
この式を変形する。


この式(14)で定義される変数θによって、積分結果が以下の式であらわされる。

なお、式(14)と対になるべき、sin(2θ)を変数ｘであらわす式が、以下の計算によって得られる。

こうして、変数θが、式(14)(15)で定義されて、式(3)で制限された変数ｘの範囲での不定積分が以下の式であらわされた。

（第１の定義域の不定積分おわり）

〔変数ｘの第２の定義域の不定積分〕
　以下のように、式(23)で与える変数ｘの第２の定義域での不定積分を、変数ｘを変数ｕに置き換えて置換積分する。

これ以降の計算は、先の式(6)から式(15)の計算を繰り返して、変数ｘの第２の定義域の不定積分を計算する。
こうして、変数θが、式(14)(15)で定義されて、式(3)で制限された変数ｘの範囲での不定積分が以下の式であらわされた。

（第２の定義域の不定積分おわり）

〔広義積分の適用による積分の定義域の制限の解消〕
　上の式の計算で、不定積分の第１の定義域と第２の定義域の境界点のｘ＝πの点を考える。その境界点の極限において、式(11)で与えられる不定積分の値が有限の値の極限値を持つ。そのため、ｘ＝πの点での不定積分の値をその極限値で定義する（広義積分の処理を行う）。その次に、第１の定義域の不定積分の定義域と第２の定義域の不定積分の定義域をつないで１つの定義域にした不定積分の解を得る。こうして広義積分を行なうことで、置換積分を媒介する変数ｕの導入によって制限されていた不定積分の積分範囲の制限を解消する。

（以上で解の第１段階の処理おわり）

【第２段階開始】
　以上の計算の結果、元の式を置換積分するために最適な積分変数が何であるかがわかった。そのため、その積分変数を使って、置換積分する。

以下の２つの式で定義する単位円の偏角の変数ｗを導入する。すなわち、式(a2)では、変数ｗを、cos()の逆関数と右辺のｘの式との合成関数で定義している。

（注意）単位円の偏角ｗは、cos(ｗ)の式だけで偏角ｗを定義する通常の定義の場合には、ｗの値の範囲を限定して偏角を定義していた。一方で、偏角ｗを、そのような値の範囲の限定に依らずに定義する場合は、sin(ｗ)の式とcos(ｗ)の式との２式を並置することで偏角ｗの値を確定させる必要がある。ただし、sin(ｗ)の式とcos(ｗ)の式を互いに矛盾しない式にする必要がある。

式(a2)と(a3)で定義されるｗとｘとは１対１で対応する。そのように扱い易い関係がある。
先ず式(a3)の両辺を微分する。
式(a2)を代入する。

この第２段階の積分の計算では、変数ｘの定義域を狭めない変数変換によって積分ができた。
（第２段階おわり）

（注意）式(a2)を代入した式を式(a4)に変形する計算は、値が０になり得る式(1+2cosx)で式を割り算する計算を含むので、同値変形では無い。その計算方法は、積分に広義積分を含ませることにより許されていることに注意すべきである。

（補足）
　ここで、変数ｗとｘとに１対１対応の関係が成り立つ場合に、以下の関係が成り立つことを利用して、堂々と積分変数を変更して置換積分して良い。


【別解】大学数学で学ぶ複素関数を用いた複素積分
　この問題の積分は、「積分計算と相性が良い三角関数の積の分数の分解の公式」を利用して、以下のように積分することもできる。


ここで、「積分計算と相性が良い三角関数の積の分数の分解の公式」を適用する。また、複素積分を行い、複素数の対数関数log(複素数)を用いる。（通常の実関数としての対数関数にはln()という記号を、複素関数としての対数関数にはlog()という記号を使って区別すると良いと思う）


この式(b3)から、解をあらわす式(b4)(b5)が得られる。

（別解おわり）

【微分して検算する】
　以上の別解の積分結果を微分すれば逆に、元の被積分関数が得られると考える。そのことを、以下の一般的な形の式を微分して確認する。

以上の２つの式であらわされた関数ｗを微分する。
先ず、式(2)をｘで微分する。


この式(3)に式(1)を代入する。

関数ｗの微分の式(4)が得られたので、
式(4)の右辺の積分が、式(1)(2)で表わされる関数ｗであることが確認できた。
（検算おわり）

（検算（その２））
以下の条件内に限定した以下の計算をして検算することもできる。
すなわち、式(1)と(2)から、以下の式(5)が得られる。
ｘの値が(π/2)などの、式(5)の分母を０にする値においては式(6)が定義されていない。しかし、その制限に対して、広義積分によって、変数ｘをその値に近づける極限での式(6)の各項の極限値を、変数ｘがその値での式(6)の各項の値と定義する。それにより、変数ｘがその値の場合でも式(6)を定義する。

　こうして、関数ｗの微分の式(6)が得られたので、
式(6)の右辺の積分が、式(1)(2)で表わされる関数ｗであることが確認できた。
（検算おわり）

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