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【問１】
黒玉●４個と白玉〇４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。ただし、円順列において、黒玉●同士を区別せず、白玉〇同士を区別しないものとする。
【解答】
黒玉●と白玉○を並べる席が４＋４＝８つある。
８つの席を固定した場合の、玉●４つと残りの玉〇４つを並べる組み合わせの数は、
８Ｃ４＝８×７×６×５／（４×３×２）＝７０通り
ある。
固定した席に対して、黒玉●と白玉○の配置パターンを回転させると、玉の配置の形が変わる。
固定した席への玉の配置の数は、席を固定しない場合の配置の数に、回転すると固定した席への配置の形が変わる数（周期Ｂ）が掛け算された数になる。
（第１のタイプ：１／４回転すると元の形に戻る配置）＝周期２のタイプ：
１／４回転すると元の形に戻る第１のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から１／４回転した位置にもあり、(2/4)回転した位置にもあり、(3/4)回転した位置にあるように繰り返して存在し、結局、黒玉●が十字架状に４個ある配置パターンになる。第１のタイプの配置パターンは、そのように、各色の玉が十字架状の形にある配置パターンである。
第１のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／４の、２個の玉で構成される部分が１周期（周期が２）になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。配置パターンが１回転する間に４回同じ配置パターンになる（回転対称数が４である）。
そのため、第１のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、円順列の全体の１周期の範囲までの部分、すなわち、円順列の全体の１／（回転対称数）＝１／４の部分、の２個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、２Ｃ１個＝２個ある。
第１のタイプの配置パターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／４回転するまでに、0回転、(1/8)回転した場合の２つの異なる配置（周期が２）が作られる。
この配置の、席を固定しない場合の円順列の配置パターンの数は、（席を固定した場合の配置パターンの数２Ｃ１）を周期の２で割り算した数になる。その数は：
２Ｃ１／２＝１
個ある。
（第２のタイプ：１／２回転すると元の形に戻る配置）＝周期４のタイプ：
１／２回転すると元の形に戻る第２のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から１／２回転した位置に存在する配置パターンになり、すなわち、黒玉●が円の直径の両端に２個ある配置パターンになる。
第２のタイプの配置パターンは、第１のタイプの配置パターンを含む。
第２のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／２の、４個の玉で構成される部分が１周期（周期が４）になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。（配置パターンが１回転する間に少なくとも２回、同じパターンになる、回転対称数が２の倍数である）。そのため、第２のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、１周期である、円順列の全体の１／２の部分の、４つの玉の部分の玉の並べ方の数で計算する。その数は：
４Ｃ２個＝６個ある。
この数から、第１のタイプの配置の数を引き算する。それにより、１／２回転して初めて元の配置パターンに戻る回転対称数が２である配置パターンの、（席が固定された場合の）配置の数が求められる。その数は：
４Ｃ２－１×２＝４
個ある。
この（引き算した結果の）配置のパターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／２回転するまでに、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転の４つの異なる配置（周期が４）が作られる。
この配置の、席を固定しない場合の円順列の配置パターンの数は、（席を固定した場合の配置パターンの数）を周期の４で割り算した数になる。その数は：
４／４＝１
個ある。
（第３のタイプ：１回転すると元の形に戻る配置（全ての配置））＝周期８のタイプ：
１回転して元の形になる配置パターン（全ての配置パターン）には、第１のタイプと第２のタイプの配置が含まれる。
第３のタイプの配置パターン（全配置パターン）の、席が固定された場合の配置の数は、８Ｃ４個＝７０個ある。
この数から、第１のタイプと第２のタイプの配置パターンの数を引き算することで、１回転して初めて元の形に戻る（席を固定した場合の）配置（第４のタイプ）の数を求める。
（第４のタイプ：１回転して初めて元の形に戻る配置）
この第４のタイプの配置パターンの数は：
８Ｃ４－（１×４）－（１×２）＝６４
個ある。
この第４のタイプの配置パターンは、（席を固定した場合の）配置を回転させると、１回転すると初めて元の形に戻る。回転させる毎に形が変わる数は、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転、(4/8)回転、(5/8)回転、(6/8)回転、(7/8)回転、の８個の異なる形（周期が８）になる。
席を固定しない場合の、この（引き算した結果の）円順列の配置パターンの数は、（席を固定した場合の配置パターンの数）を周期の８で割り算した数である。すなわち、
６４／８＝８
個だけある。
（全部の円順列の数）
以上の合計の、席を固定しない場合の、円順列の配置パターンの数は：
１＋１＋８＝１０
である。
（解答おわり）
《この解答の計算を整理すると以下の式になる》
【問１ｂ】
問１の円順列の、黒玉●４個と白玉〇４個をつないで作るじゅず順列の数はいくつあるか。
【解答】
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る裏返し線に関してその円順列の配置を対称な形に裏返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。すなわち、その配置が線対称では無いか、線対称であるかを調べます。
（第１のタイプの配置）
この配置パターン（円順列では１つのみのパターン）の場合、
配置が線対称なパターンになる。
裏返した形が、元の配置を回転しても作れます。
すなわち、４つの●の配置の中点と円の中心を通る裏返し線で裏返した形は、裏返す前の配置と重なる同じ形になります。
この線対称な配置は、じゅず順列でも円順列でも同じ１個の数と数えられる。
（第２のタイプの配置）
この配置パターン（円順列では１つのみのパターン）の場合、
配置が線対称なパターンになる。
裏返した形が、元の配置を回転しても作れます。
すなわち、４つの●の配置の中点と円の中心を通る裏返し線で裏返した形は、裏返す前の配置と重なる同じ形になります。
この線対称な配置は、じゅず順列でも円順列でも同じ１個の数と数えられる。
（第４のタイプの配置）
この配置パターン（円順列では８つのパターン）の場合、
配置が線対称なパターンになるのが４個あり、配置が線対称なパターンにならないのが４個ある。
配置が線対称なパターンにならないのは以下の４個のパターンがある。
この４個のパターンでは、配置を裏返してできる形が、元の配置を回転することではできない形になります。
円順列では、この形と、これを裏返した形が別の配置として２個と数えられている。
しかし、これらは、じゅず順列では１個と数えられるので、円順列では配置のパターンの数が２倍に数えられている。
そのため、この４つの円順列の数は、じゅず順列では、
４／２＝２個
と数えられる。
結局、じゅず順列の数は、
①配置が線対称なじゅず順列の配置パターンの数＝１＋１＋４＝６，
②配置が線対称でないじゅず順列の配置パターンの数＝４／２＝２，
の合計の、
６＋２＝８
である。
（解答おわり）
【問２】
黒玉●８個と白玉〇８個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。ただし、円順列において、●同士を区別せず、〇同士を区別しないものとする。
【解答】
黒玉●と白玉○を並べる席が８＋８＝１６個ある。
１６個の席を固定した場合の、黒玉●８つと残りの白玉〇８つを並べる組み合わせの数は、
16Ｃ8＝１３×１１×１０×９＝１２８７０通り
ある。
固定した席に対して、黒玉●と白玉○の配置パターンを回転させると、玉の配置の形が変わる。 固定した席への玉の配置の数は、席を固定しない場合の配置の数に、回転すると固定した席への配置の形が変わる数Ｂが掛け算された数になる。
（第１のタイプ：１／８回転すると元の形に戻る配置）
１／８回転すると元の形に戻る第１のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●がある場合は、その黒玉●が１／８回転毎に繰り返して現れ、合計８個の黒玉●から構成される配置パターンがパターンの１つの要素になる。各色の玉毎にこのパターンになる配置パターンが第１のタイプの配置の形である。
第１のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の８分の１の、２個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第１のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、その１周期である、円順列の円の１／８の部分の２個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、２Ｃ１個＝２個ある。
第１のタイプの配置パターンは、席を固定した場合の配置が、0回転、(1/16)回転、した場合に２つの異なる形になる。
席を固定しない場合の、この配置のパターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数２Ｃ１の２分の１になる。その数は：
２Ｃ１／２＝１
個ある。
（第２のタイプ：１／４回転すると元の形に戻る配置）
１／４回転して元の形に戻る第２の配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●がある場合は、その黒玉●が１／４回転毎に繰り返して現れ、合計４個の黒玉●が十字架状に存在する形が配置パターンの１つの要素になる。黒玉の十字架と白玉の十字架を組み合わせた配置が第２のタイプの配置パターンの形である。
第２のタイプの配置パターンには、第１のタイプの配置パターンを含む。
第２のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／４の、４個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第２のタイプの配置パターンの、席が固定された場合の配置パターンの数は、円順列の円の４分の１の４個の玉で構成される部分の、４つの玉の並べ方の数で計算でき、４Ｃ２個＝６個ある。
この数から、第１のタイプの配置パターンの数を引き算して、１／４回転して初めて元の形に戻る配置パターンの配置の数を求めると：
４Ｃ２－１×２＝４
個の配置パターンの数がある。これは、席が固定された場合の配置パターンの数である。
この（引き算した結果の）配置パターンは、配置パターンを回転させると、４分の１回転するまで元にもどらず形が変わる。形が変わる数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、の場合の４つの異なる形になる。
そのため、席を固定しない場合の、１／４回転して初めて元の形に戻る配置パターンの数は：
４／４＝１
個だけある。
（第３のタイプ：１／２回転すると元の形に戻る配置）
１／２回転して同じ形の配置になる第３の配置パターンには、第１のタイプの配置パターンと、第２のタイプの配置パターンとを含む。
第３のタイプの配置パターンは、配置パターンの１／２回転が配置パターンの形が変わる１周期である。そのため、第３のタイプの配置パターンは、席が固定された場合の配置の数は、円順列の１／２回転の範囲内の右半分の８つの玉の並べ方の数で計算でき、８Ｃ４個＝７０個ある。
この数から、第１のタイプの配置パターンの数と第２のタイプの配置パターンの数を引き算する。それにより、１／２回転して初めて同じ形に戻る配置パターンの数が求められる。その数は：
８Ｃ４－（１×４）－（１×２）＝６４
個の配置の数がある。
この（引き算した結果の）配置のパターンの、配置を回転させると変わる形の数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、(4/16)回転、(5/16)回転、(6/16)回転、(7/16)回転、の８つある。
そのため、席を固定しない場合の、１／２回転して初めて元の形に戻る配置パターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数６４を、回転で変わる形の数８で割り算した数になり：
６４／８＝８
個だけある。
（第４のタイプ：１回転すると元の形に戻る配置（全ての配置））
１回転して同じ形の配置になる（全ての配置の）配置パターンには、第１のタイプの配置と、第２のタイプの配置と、第３のタイプの配置とを含む。
席が固定された場合の、全ての配置パターンの数は１６Ｃ８個＝１３×１１×１０×９＝１２８７０個ある。
この数から、第１の配置パターンの数と第２の配置パターンの数と第３の配置パターンの数を引き算する。その数は、１回転するまで元の形には戻らない配置パターンの数である。その数は：
１６Ｃ８－（８×８）－（１×４）－（１×２）＝１２８００
個ある。
この（引き算した結果の）配置パターンは、配置を回転させると、１回転するまでは元にもどらない。回転することで配置パターンの形が変わる数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、(4/16)回転、(5/16)回転、(6/16)回転、・・・(15/16)回転、の１６個ある。
そのため、席を固定しない場合の配置パターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数１２８００を、回転で変わる形の数１６で割り算した数になり：
１２８００／１６＝８００
個だけある。
（全部の円順列の数）
以上の、席を固定しない場合の、円順列の配置の数の総和は：
１＋１＋８＋８００＝８１０
である。
（解答おわり）
《この解答の計算を整理すると以下の式になる》
《検算方法》
問２の解の数が大きいので、答えが合っているのかの検算が悩ましいところである。計算を整理して解き方のパターンの規則性があることが、検算の第１段階になるとも思いますが。問２の解の検算方法は、近似的に、配置パターンの大部分が、１回転して初めて元のパターンに戻る配置パターンである、と仮定して概算して検算する。
席を固定しない場合の配置の数の概算は、席を固定した場合の全配置パターンの数１６Ｃ８を、回転で変わる形の数１６で割り算した数になり：
１６Ｃ８／１６＝１３×１１×１０×９／１６
＝１２８７０／１６
≒ ８００
個程度ある。
（検算おわり）
場合の数と確率
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【問１】
黒玉●４個と白玉〇４個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。ただし、円順列において、黒玉●同士を区別せず、白玉〇同士を区別しないものとする。
【解答】
黒玉●と白玉○を並べる席が４＋４＝８つある。
８つの席を固定した場合の、玉●４つと残りの玉〇４つを並べる組み合わせの数は、
８Ｃ４＝８×７×６×５／（４×３×２）＝７０通り
ある。
固定した席に対して、黒玉●と白玉○の配置パターンを回転させると、玉の配置の形が変わる。
固定した席への玉の配置の数は、席を固定しない場合の配置の数に、回転すると固定した席への配置の形が変わる数（周期Ｂ）が掛け算された数になる。
（第１のタイプ：１／４回転すると元の形に戻る配置）＝周期２のタイプ：
１／４回転すると元の形に戻る第１のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から１／４回転した位置にもあり、(2/4)回転した位置にもあり、(3/4)回転した位置にあるように繰り返して存在し、結局、黒玉●が十字架状に４個ある配置パターンになる。第１のタイプの配置パターンは、そのように、各色の玉が十字架状の形にある配置パターンである。
第１のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／４の、２個の玉で構成される部分が１周期（周期が２）になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。配置パターンが１回転する間に４回同じ配置パターンになる（回転対称数が４である）。
そのため、第１のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、円順列の全体の１周期の範囲までの部分、すなわち、円順列の全体の１／（回転対称数）＝１／４の部分、の２個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、２Ｃ１個＝２個ある。
第１のタイプの配置パターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／４回転するまでに、0回転、(1/8)回転した場合の２つの異なる配置（周期が２）が作られる。
この配置の、席を固定しない場合の円順列の配置パターンの数は、（席を固定した場合の配置パターンの数２Ｃ１）を周期の２で割り算した数になる。その数は：
２Ｃ１／２＝１
個ある。
（第２のタイプ：１／２回転すると元の形に戻る配置）＝周期４のタイプ：
１／２回転すると元の形に戻る第２のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●については、黒玉●が、元の位置から１／２回転した位置に存在する配置パターンになり、すなわち、黒玉●が円の直径の両端に２個ある配置パターンになる。
第２のタイプの配置パターンは、第１のタイプの配置パターンを含む。
第２のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／２の、４個の玉で構成される部分が１周期（周期が４）になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。（配置パターンが１回転する間に少なくとも２回、同じパターンになる、回転対称数が２の倍数である）。そのため、第２のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、１周期である、円順列の全体の１／２の部分の、４つの玉の部分の玉の並べ方の数で計算する。その数は：
４Ｃ２個＝６個ある。
この数から、第１のタイプの配置の数を引き算する。それにより、１／２回転して初めて元の配置パターンに戻る回転対称数が２である配置パターンの、（席が固定された場合の）配置の数が求められる。その数は：
４Ｃ２－１×２＝４
個ある。
この（引き算した結果の）配置のパターンは、１／８回転する毎に、固定した席に対しては、異なる配置になり、１周期である１／２回転するまでに、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転の４つの異なる配置（周期が４）が作られる。
この配置の、席を固定しない場合の円順列の配置パターンの数は、（席を固定した場合の配置パターンの数）を周期の４で割り算した数になる。その数は：
４／４＝１
個ある。
（第３のタイプ：１回転すると元の形に戻る配置（全ての配置））＝周期８のタイプ：
１回転して元の形になる配置パターン（全ての配置パターン）には、第１のタイプと第２のタイプの配置が含まれる。
第３のタイプの配置パターン（全配置パターン）の、席が固定された場合の配置の数は、８Ｃ４個＝７０個ある。
この数から、第１のタイプと第２のタイプの配置パターンの数を引き算することで、１回転して初めて元の形に戻る（席を固定した場合の）配置（第４のタイプ）の数を求める。
（第４のタイプ：１回転して初めて元の形に戻る配置）
この第４のタイプの配置パターンの数は：
８Ｃ４－（１×４）－（１×２）＝６４
個ある。
この第４のタイプの配置パターンは、（席を固定した場合の）配置を回転させると、１回転すると初めて元の形に戻る。回転させる毎に形が変わる数は、0回転、(1/8)回転、(2/8)回転、(3/8)回転、(4/8)回転、(5/8)回転、(6/8)回転、(7/8)回転、の８個の異なる形（周期が８）になる。
席を固定しない場合の、この（引き算した結果の）円順列の配置パターンの数は、（席を固定した場合の配置パターンの数）を周期の８で割り算した数である。すなわち、
６４／８＝８
個だけある。
（全部の円順列の数）
以上の合計の、席を固定しない場合の、円順列の配置パターンの数は：
１＋１＋８＝１０
である。
（解答おわり）
《この解答の計算を整理すると以下の式になる》
【問１ｂ】
問１の円順列の、黒玉●４個と白玉〇４個をつないで作るじゅず順列の数はいくつあるか。
【解答】
じゅず順列の場合の数を計算するには、円順列の配置毎に、
円の中心を通る裏返し線に関してその円順列の配置を対称な形に裏返して、
それが、異なる円順列の配置になるかどうかを調べます。すなわち、その配置が線対称では無いか、線対称であるかを調べます。
（第１のタイプの配置）
この配置パターン（円順列では１つのみのパターン）の場合、
配置が線対称なパターンになる。
裏返した形が、元の配置を回転しても作れます。
すなわち、４つの●の配置の中点と円の中心を通る裏返し線で裏返した形は、裏返す前の配置と重なる同じ形になります。
この線対称な配置は、じゅず順列でも円順列でも同じ１個の数と数えられる。
（第２のタイプの配置）
この配置パターン（円順列では１つのみのパターン）の場合、
配置が線対称なパターンになる。
裏返した形が、元の配置を回転しても作れます。
すなわち、４つの●の配置の中点と円の中心を通る裏返し線で裏返した形は、裏返す前の配置と重なる同じ形になります。
この線対称な配置は、じゅず順列でも円順列でも同じ１個の数と数えられる。
（第４のタイプの配置）
この配置パターン（円順列では８つのパターン）の場合、
配置が線対称なパターンになるのが４個あり、配置が線対称なパターンにならないのが４個ある。
配置が線対称なパターンにならないのは以下の４個のパターンがある。
この４個のパターンでは、配置を裏返してできる形が、元の配置を回転することではできない形になります。
円順列では、この形と、これを裏返した形が別の配置として２個と数えられている。
しかし、これらは、じゅず順列では１個と数えられるので、円順列では配置のパターンの数が２倍に数えられている。
そのため、この４つの円順列の数は、じゅず順列では、
４／２＝２個
と数えられる。
結局、じゅず順列の数は、
①配置が線対称なじゅず順列の配置パターンの数＝１＋１＋４＝６，
②配置が線対称でないじゅず順列の配置パターンの数＝４／２＝２，
の合計の、
６＋２＝８
である。
（解答おわり）
【問２】
黒玉●８個と白玉〇８個を円形に並べる方法（円順列）は何通りあるか。ただし、円順列において、●同士を区別せず、〇同士を区別しないものとする。
【解答】
黒玉●と白玉○を並べる席が８＋８＝１６個ある。
１６個の席を固定した場合の、黒玉●８つと残りの白玉〇８つを並べる組み合わせの数は、
16Ｃ8＝１３×１１×１０×９＝１２８７０通り
ある。
固定した席に対して、黒玉●と白玉○の配置パターンを回転させると、玉の配置の形が変わる。 固定した席への玉の配置の数は、席を固定しない場合の配置の数に、回転すると固定した席への配置の形が変わる数Ｂが掛け算された数になる。
（第１のタイプ：１／８回転すると元の形に戻る配置）
１／８回転すると元の形に戻る第１のタイプの配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●がある場合は、その黒玉●が１／８回転毎に繰り返して現れ、合計８個の黒玉●から構成される配置パターンがパターンの１つの要素になる。各色の玉毎にこのパターンになる配置パターンが第１のタイプの配置の形である。
第１のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の８分の１の、２個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第１のタイプの玉の配置は、席が固定された場合の配置の数は、その１周期である、円順列の円の１／８の部分の２個の玉の並べ方の数で計算する。その数は、２Ｃ１個＝２個ある。
第１のタイプの配置パターンは、席を固定した場合の配置が、0回転、(1/16)回転、した場合に２つの異なる形になる。
席を固定しない場合の、この配置のパターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数２Ｃ１の２分の１になる。その数は：
２Ｃ１／２＝１
個ある。
（第２のタイプ：１／４回転すると元の形に戻る配置）
１／４回転して元の形に戻る第２の配置パターンの場合は、上図のように、黒玉●がある場合は、その黒玉●が１／４回転毎に繰り返して現れ、合計４個の黒玉●が十字架状に存在する形が配置パターンの１つの要素になる。黒玉の十字架と白玉の十字架を組み合わせた配置が第２のタイプの配置パターンの形である。
第２のタイプの配置パターンには、第１のタイプの配置パターンを含む。
第２のタイプの配置パターンは、配置パターンの円の１／４の、４個の玉で構成される部分が１周期になって、それが繰り替えされて全ての玉の配置が決まる配置パターンである。
そのため、第２のタイプの配置パターンの、席が固定された場合の配置パターンの数は、円順列の円の４分の１の４個の玉で構成される部分の、４つの玉の並べ方の数で計算でき、４Ｃ２個＝６個ある。
この数から、第１のタイプの配置パターンの数を引き算して、１／４回転して初めて元の形に戻る配置パターンの配置の数を求めると：
４Ｃ２－１×２＝４
個の配置パターンの数がある。これは、席が固定された場合の配置パターンの数である。
この（引き算した結果の）配置パターンは、配置パターンを回転させると、４分の１回転するまで元にもどらず形が変わる。形が変わる数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、の場合の４つの異なる形になる。
そのため、席を固定しない場合の、１／４回転して初めて元の形に戻る配置パターンの数は：
４／４＝１
個だけある。
（第３のタイプ：１／２回転すると元の形に戻る配置）
１／２回転して同じ形の配置になる第３の配置パターンには、第１のタイプの配置パターンと、第２のタイプの配置パターンとを含む。
第３のタイプの配置パターンは、配置パターンの１／２回転が配置パターンの形が変わる１周期である。そのため、第３のタイプの配置パターンは、席が固定された場合の配置の数は、円順列の１／２回転の範囲内の右半分の８つの玉の並べ方の数で計算でき、８Ｃ４個＝７０個ある。
この数から、第１のタイプの配置パターンの数と第２のタイプの配置パターンの数を引き算する。それにより、１／２回転して初めて同じ形に戻る配置パターンの数が求められる。その数は：
８Ｃ４－（１×４）－（１×２）＝６４
個の配置の数がある。
この（引き算した結果の）配置のパターンの、配置を回転させると変わる形の数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、(4/16)回転、(5/16)回転、(6/16)回転、(7/16)回転、の８つある。
そのため、席を固定しない場合の、１／２回転して初めて元の形に戻る配置パターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数６４を、回転で変わる形の数８で割り算した数になり：
６４／８＝８
個だけある。
（第４のタイプ：１回転すると元の形に戻る配置（全ての配置））
１回転して同じ形の配置になる（全ての配置の）配置パターンには、第１のタイプの配置と、第２のタイプの配置と、第３のタイプの配置とを含む。
席が固定された場合の、全ての配置パターンの数は１６Ｃ８個＝１３×１１×１０×９＝１２８７０個ある。
この数から、第１の配置パターンの数と第２の配置パターンの数と第３の配置パターンの数を引き算する。その数は、１回転するまで元の形には戻らない配置パターンの数である。その数は：
１６Ｃ８－（８×８）－（１×４）－（１×２）＝１２８００
個ある。
この（引き算した結果の）配置パターンは、配置を回転させると、１回転するまでは元にもどらない。回転することで配置パターンの形が変わる数は、0回転、(1/16)回転、(2/16)回転、(3/16)回転、(4/16)回転、(5/16)回転、(6/16)回転、・・・(15/16)回転、の１６個ある。
そのため、席を固定しない場合の配置パターンの数は、席を固定した場合の配置パターンの数１２８００を、回転で変わる形の数１６で割り算した数になり：
１２８００／１６＝８００
個だけある。
（全部の円順列の数）
以上の、席を固定しない場合の、円順列の配置の数の総和は：
１＋１＋８＋８００＝８１０
である。
（解答おわり）
《この解答の計算を整理すると以下の式になる》
《検算方法》
問２の解の数が大きいので、答えが合っているのかの検算が悩ましいところである。計算を整理して解き方のパターンの規則性があることが、検算の第１段階になるとも思いますが。問２の解の検算方法は、近似的に、配置パターンの大部分が、１回転して初めて元のパターンに戻る配置パターンである、と仮定して概算して検算する。
席を固定しない場合の配置の数の概算は、席を固定した場合の全配置パターンの数１６Ｃ８を、回転で変わる形の数１６で割り算した数になり：
１６Ｃ８／１６＝１３×１１×１０×９／１６
＝１２８７０／１６
≒ ８００
個程度ある。
（検算おわり）
場合の数と確率
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