複素数平面で３点が正三角形になるのに必要十分な式

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問題】複素数平面上の 三点A(α),B(β),C(γ)が正三角形となる必要十分条件が、以下の式であらわされることを証明せよ。

（Ａ）先ず、正三角形の場合に、この式が成り立っている事を調べる。
（後に、この式が成り立つ時は正三角形になる事を調べる）

　正三角形の場合は、この式は以下の式に変換できる。

この最後の式は、確かに成り立っている。
そのため、正三角形の場合に、

この式が成り立っている。

（Ｂ）次に、

（この式を書き換えると以下の式）

この式が成り立つ時は正三角形になる事を証明する。

　その証明をする前に、証明の準備として、正三角形の辺のベクトル（を与える複素数）の間に成り立つ関係について考える。
以下の図の様な関係がある。

証明の準備のために正三角形の辺のベクトルの複素数の性質を考察した結果、上の図のようにして、ABCが正三角形になる必要十分条件を与える式を発見した。

以下で、この必要十分条件を与える式を変換する。

（証明おわり）

（補足）
　実際に自分で計算をすると、計算がうまく進められない問題にぶつかることがあります。
　その問題にぶつかった時、自分の計算の進め方において自分の従うべき計算の展開ルールを、計算の結果が誤りに誘導される事の無いように、計算方針に道しるべを付けて、道しるべを覚えて自分の計算方針ミスを無くしていきます。

　以下では、上の式の計算がうまく進められない例を示します。
先ず、上の計算式を以下のように進めます。

 この式は、以下の式に変換されます。

この式の第２項は、以下の、「求めたい式」の第３項と同じです。

 そのため、先の式のその他の部分をこの式に合わせたく思い、以下の計算をしました。

あれれ？？。
先の式の２つの項を「求めたい式」の２つの項に一致させることが出来たのに、最後の項が、「求めたい式」の最後の項に一致しない？？。

　この「計算ミス」は以下の原因により生じました。
実際に成り立っているのは以下の式です。

すなわち、最初の式の２倍が求めたい式と一致します。

しかし、この計算ミスでは、最初の式と「求めたい式」の一部の項が一致していたため、
その２つの式全体が一致するにちがいないと思い込んだ。
すなわち、

のように２つの式が同じでは無いのに、両者が同じ式だという誤った前提で計算を進めた計算ミスでした。

　「２つの式の一部に一致する項があったからと言って、その２つの式全体が一致するとは限らない」、と心に銘記して、計算を進めていきましょう。

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複素数平面での正三角形の条件
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