2015年4月18日土曜日

複素数とその逆数の和が絶対値になる式の解

これは、ここをクリックした先の問題の解です。

【問題】
 複素数zに対して以下の関係がある。
このとき、複素数
はどの様な数であるか?

【解1】
なお、zの逆数がzの共役複素数に等しいということは、
となり、zの絶対値が1に等しくなります。

(この解のポイント)
 複素数zの逆数(1/z)は、その複素数の偏角が、複素数zの偏角とプラスマイナスが逆です。そのため、(1/z)の位置ベクトルはzに共役な複素数の位置ベクトルと平行です。

(大切な注意)
 ここで、当たり前の解ではありますが、
z=実数、
(実数のzの大きさは、0を除き、正負の値のどの大きさでも良い)
という解もとても大事な解ですので、
これも解である事を見落さないようにして下さい。

 なお、問題の条件を満足する複素数zの存在位置を赤点の集合であらわすと、以下の図になります。
z ≠ 0が問題の式の前提条件になっているので、
z=0の点は、zの存在範囲から除外します。

 
【解2】
 以下の様に計算することによってこの解を得ることもできます。
計算で解を求めようとするとこんなに大変なのだという参考程度に見ておいてください。


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