複素数とその逆数の和が実数になる式の解

これは、ここをクリックした先の問題の解です。

【問題】
　複素数ｚに対して以下の関係がある。

このとき、複素数

はどの様な数であるか？

【解１】
　以下の図のように複素数ｚと1/zとを複素数平面に描いて考える。
　ｚが実数や純虚数で無ければ、ｚと1/zとは、互いに平行しない異なるベクトルである。あらゆるベクトルは異なるベクトルの合成であらわせる。1/zはｚの共役複素数に平行である。ｚとｚの共役複素数の和は実数になる。実数ではないｚと1/z の和が実数になるのは、1/z がｚの共役複素数になる場合に限られる。

なお、ｚの逆数がｚの共役複素数に等しいということは、

となり、ｚの絶対値が１に等しくなります。

（この解のポイント）
　複素数ｚの逆数（１／ｚ）は、その複素数の偏角が、複素数ｚの偏角とプラスマイナスが逆です。そのため、（１／ｚ）の位置ベクトルはｚに共役な複素数の位置ベクトルと平行です。

（補足）また、「複素数平面のベクトル方程式」 のページ（ここをクリックした先にある）の問題も、この解法のように複素数をベクトルと考えて解くことで解きやすくなります。

（大切な注意）
　ここで、当たり前の解ではありますが、
ｚ＝実数、
（実数のｚの大きさは、０を除き、正負の値のどの大きさでも良い）
という解もとても大事な解ですので、
これも解である事を見落さないようにして下さい。

　なお、問題の条件を満足する複素数ｚの存在位置を赤点の集合であらわすと、以下の図になります。

ｚ ≠ ０が問題の式の前提条件になっているので、
ｚ＝０の点は、ｚの存在範囲から除外します。
（解答おわり）
   
【解２】
　以下の様に計算することによってこの解を得ることもできます。
計算で解を求めようとするとこんなに大変なのだという参考程度に見ておいてください。

この解のｚは、解１の図を描く。
（解答おわり）

【解３】
以下の様に計算することによってこの解を得ることもできます。
実数ｔに関して以下の式１が成り立つと考える。

 この式を変形してｚをｔであらわす。

ｔの値の範囲を場合分けしてｚの表す点を複素数平面上に描く。

式(3)の解は、実数項の２乗と虚数項の２乗の和が１になるので、解１の図の円になる（ただし、実数の点を除く）。

これは、解１の図の、実軸上の直線になる（ただし、z=0を除く）
（解答おわり）

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