正三角形になる必要十分条件の式の証明

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問題】複素数平面上の 三点A(α),B(β),C(γ)が正三角形となる必要十分条件が、以下の式であらわされることを証明せよ。

（Ａ）先ず、正三角形の場合に、この式が成り立つ事を調べる。

正三角形の場合は、この式は以下の式に変換できる。

この最後の式は、確かに成り立っている。
そのため、正三角形の場合に、

この式が成り立っている。

（Ｂ）次に、

この式が成り立つ時は正三角形になる事を証明する。 
　先ず、この式を簡単にするために、以下の図の様に、三角形の辺のベクトルを与える複素数ａ，ｂ，ｃを使ってこの式をあらわす。

次に、この式を順次に変換していく。

この式の左辺と右辺は、以下の図の様に、三角形の辺と角度を使ってあらわせる。

そのため、三角形の辺と角度の間に以下の関係がある。

そのため、三角形ＡＢＣが正三角形になる。
以上の計算結果をまとめると、

が成り立つ場合は、三角形ＡＢＣは正三角形になる。

先の計算結果と合わせると、この式は三角形ＡＢＣが正三角形になるための必要十分条件である。 
（証明おわり）

リンク：
複素数平面での正三角形の条件
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