2015年4月8日水曜日

円の一部分で円周角が一定になることの計算での確認

この計算は、ここをクリックした先の問題の解答です

【問】以下の複素数平面のグラフの方程式を簡単な方程式に変換せよ。

【解答】
 このグラフの式(1)は、2つのベクトルの成す角度θのcosθが1/2である式であるので、2つのベクトルの成す角度θは60°です。そのため、円周角の定理から、複素数zの描くグラフは、上図のような2つの円上になります。
 そのうち1つの円の中心は1+i/√3であり、円の半径は2/√3です。
よって、この円のグラフの方程式は、Im(z)≧0のときは、
であらわせます。
(解答おわり)

 この円のグラフの方程式(2)から、以下の式(3)を計算することができます。

 この式(3)は、Im(z)≧0の場合には、式(1)と同じグラフをあらわす式です。

 以下では、計算で、式(3)が成り立つ場合に、Im(z)≧0の場合には式(1)が成り立つことを証明してみます。
 図形を見て問題を解くよりも計算で問題を解く方がかなり込み入っています。そのため、図形を見て問題を解くことを推薦しますが、計算ではどのくらい込み入った計算をするかを、以下で示します。

 先ず、式(3)から以下の式(4)が得られます。
  この式(4)によって、|z|の二乗がzとzの共役複素数のベクトルの合成の形に単純化できます。


先ず、この式(1’)の左辺を、式(4)を代入しつつ計算します。
これで、式(1’)の左辺が計算できました。
次に、式(1’)の右辺をdと置いて計算します。

これで、式(1’)の右辺dが計算できた。

 以上の計算の結果、式(3)で表わされる円上の点zは、Im(z)≧0の場合には、
式(1)左辺の値が正になり、正の値dである式(1’)の右辺の値と一致し、式(1’)の関係を満足することが証明できました。

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