以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】（難問）
上の図のように、四角形ＡＢＣＤが円に内接していて、
ＡＢ＝ＡＤ＝ＤＣ＝４、ＢＣ＝６である。
円周上に、点Ｄと異なる点ＰをＢＤ＝ＢＰとなるようにとる。このとき、ＡＰの長さを求めなさい。
【解答】
図形問題では、先ず、足りない図形は埋め、特に、図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
この問題は、以下の様に、図形をほぼ対称な形に完成させてから解きます。
（０）先ず、BDとBPがBOに関して対称なので、図の他の部分も、BOに関して対称な部分は全て埋めるようにします。
線分BOも伸ばして線分BEにします。
こういう形の図形が、対称な形に完成した図形です。
これに近い形の図形に図形を完成させてください。
それから問題を解きます。
（１）
上の図から、
求めるＡＰの長さはＡ’Ｄの長さに等しいことがわかります。
（２）
上の図から、
四角形ＡＢＣＤを回転させると四角形ＢＡ’ＤＡに重なることがわかります。
そのため、
Ａ’Ｄ＝ＢＣ＝６
になることがわかります。
（３）
結局、
ＡＰ＝Ａ’Ｄ＝ＢＣ＝６
であるので、
ＡＰ＝６
です。
（解答おわり）
（補足）
この問題は、上の解答で考えた辺を線対称な辺に変換する操作をせずに図形を回転させるだけで解ける。
（解答開始）
四角形ＡＢＣＤを回転させると四角形Ａ’ＰＡＢに重なる。
そのため、
ＡＰ＝ＢＣ＝６
である。
（解答おわり）
というふうに解いても良い。
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以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
上の図のように、１８０度の５分の１の３６度の頂角Ａを持つ二等辺三角形ＡＢＣがある。
この二等辺三角形の辺の長さｙを、補助線ＣＥとＢＤを利用して解け。
ただし、線分ＢＤは∠Ｂの二等分線であり、線分ＣＥは∠Ｃの二等分線である。
【解答】
上の足りない図（角度の記述）を埋めて下図を得る。
三角形ＢＣＤは二等辺三角形であり、
１＝ＢＣ＝ＢＤ
である。
三角形ＤＡＢは二等辺三角形であり、
１＝ＤＢ＝ＤＡ
である。
その記述も上図に加えた。
上図から、
⊿ＣＢＥ∽⊿ＡＢＣなので、
三角形の辺の間に以下の関係が成り立つ。
ＥＢ÷ＢＣ＝ＢＣ÷ＣＡ
この関係を変数ｙであらわす方程式１を作る。
方程式１を解いて式２を得、
不適な解を除去して解の式３を得た。
よって、二等辺三角形ＡＢＣの辺の長さは、
下図の通りである。
（解答おわり）
（補足）
頂角３６°の二等辺三角形の斜辺：底辺の比は、
となります。
そのため、以下の式４が成り立つことになります。
この式４が成り立つことは、実際に計算すれば、そうだと分かります。
（チョット便利なこと）
この式４を覚えておくと、この式４のどれかの項の逆数を求めるとき、計算しないで答えを出せるのでチョット便利だと思います。
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以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】（難問）
上の図のように、点Ｏを中心とする直径ＡＢが４である半円を、弦ＣＤを折り目にして折り返したら、線分ＡＢと弧ＣＤが線分ＡＢ上の点Ｐで接した。ＯＰ＝１のとき、
弦ＣＤの中点をＭとするとき、
ＯＭの長さを求めなさい。
【解答】
図形問題では、先ず、足りない図形を埋めて図形を完成させてから問題を解くように心がけてください。
この問題は、以下の様に、図形を完成させてから解きます。
こういう形の図形が、完成した形の図形です。
これに近い形の図形に図形を完成させてください。
それから問題を解きます。
上の図から、ＯＯ’の長さが求められ、
その半分の長さのＯＭの長さが求められました。
（解答おわり）
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これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。
【問２】
上の三角形において、図の角度の条件が成り立つＰ点の位置座標を求めよ。
ただし、点Ａ，Ｂ，Ｏの位置座標を、Ａ（０，２）と、Ｂ （√３，０）と、Ｏ（０，０）とする。
（解答方針）
この問題は、正弦定理を使って解くべき問題であって、余弦定理やベクトルの内積を使っては解くべきでない問題です。
ここをクリックした先にあるように正弦定理を使って解くべき問題です。
しかし、複素数平面を使う場合は、この問題を解くことができます。
以下で、複素数平面を使った解答を示します。
【解答】
Ｐ点の座標を複素数ｐであらわして、方程式を立ててｐの値を求めます。
ここで、変数ｓは実数をあらわす。
ここで変数ｔは実数をあらわす。
以上で得た方程式を以下に整理する。
この方程式７と８からｐを消去して実数変数 ｓ と ｔ2 のみを含む式を作る。
この式９の変数ｓと ｔ2 は実数である。式９の実数部と虚数部が各々０になるので以下の式１０と１１が成り立つ。
式１２で得たｓの値を式７に代入して複素数ｐを求める。
（解答おわり）
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これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。
【問１】
上の三角形において、図の角度の条件が成り立つＰ点の位置座標を求めよ。
ただし、点Ａ，Ｂ，Ｏの位置座標を、Ａ（０，√３）と、Ｂ （１，０）と、Ｏ（０，０）とする。
（解答方針）
この問題は、正弦定理を使って解くべき問題であって、余弦定理やベクトルの内積を使っては解くべきでない問題です。
ここをクリックした先にあるように正弦定理を使って解くべき問題です。
しかし、複素数平面を使う場合は、この問題を解くことができます。
以下で、複素数平面を使った解答を示します。
【解答】
Ｐ点の座標を複素数ｐであらわして、方程式を立ててｐの値を求めます。
ここで、変数ｓは実数をあらわす。
ここで変数ｔは実数をあらわす。
以上で得た方程式を以下に整理する。
この方程式７と８からｐを消去して実数変数 ｓ と ｔ2 のみを含む式を作る。
この式９の変数ｓと ｔ2 は実数である。式９の実数部と虚数部が各々０になるので以下の式１０と１１が成り立つ。
式１２で得たｓの値を式７に代入して複素数ｐを求める。
（解答おわり）
この問題は、ベクトルを使って解こうとするととても難しい問題でした（クリックした先のページの第４の解答）が、複素数平面を使って解くと、このように易しく問題が解けるようになりました。
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これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。
【問１】
上の三角形において、上のベクトルの内積の式が成り立つことを証明せよ。
【一番簡単な解き方の秘訣】
（あるベクトルｍとｃとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
（１）それらのベクトルｍとｃを、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙの合成であらわして（ただし、ベクトルｘは三角形の所定の辺の方向に平行。ベクトルｙはその辺に垂直な方向を向く）、
（２）そして、ベクトルｍとｃが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。）
一方で、外心Ｏを原点にした基準ベクトルを使うと、その２つの基準ベクトルの和のベクトルが、その２つの基準ベクトルの差のベクトルに垂直になります（ひし形の対角線の直交の公式）。そのように容易に垂直なベクトルの組を作れるため、上記の場合と同様に、問題が解き易くなります。
【解答（その１）】
先ず、ベクトルｂとｃを、外心から引いたベクトルＡとＢとＣであらわす。
ひし形の対角線の直交の公式により、
が成り立つ。
式ａ１の右辺のベクトルを、その上の式に代入して計算する。
ここでベクトル（Ｂ＋Ｃ）は、上図の様に辺ＢＣに垂直であり、長さが２ｍである。
（証明おわり）
【解答（その２）】
先ず、ベクトルｂとｃを、外心から引いたベクトルＡとＢとＣであらわす。
この式を、大きさＲが等しいベクトルＡとＢとＣの内積であらわし、式を変換する。
（証明おわり）
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以下は、ここをクリックした先のページの問題の解答です。
【問】三角形の外接円の半径Ｒを、三角形の頂点Ａの高さｈと辺ｂとｃからもとめよ。
【解答】
この問題は、三角形の外接円の半径Ｒが、正弦定理で三角形の１つの角度とその角度に対向する辺に関係していることと、
三角形の頂点Ａの角度の正弦と辺ｂとｃの積が三角形の面積の２倍になることを使えば解けます。
先ず、正弦定理を思い出します。
この三角形の面積の２倍の面積Ｓの２倍が以下の式１であらわせる。
この式１のｓｉｎＡを、正弦定理を使って、外接円の半径Ｒを使った項に変換して、以下の式２を得る。
一方、三角形面積は、以下の式３の、底辺ａと高さの積であらわせる。
式３と式２を合わせて計算する。
上式のように底辺ａが消えて、
外接円の半径Ｒが、頂点Ａの高さｈと辺ｂとｃであらわせた。
（解答おわり）
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上の図のように、四角形ＡＢＣＤが円に内接していて、
こういう形の図形が、対称な形に完成した図形です。
