方程式の実数解の個数の問題

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問題１】
以下の方程式が異なる実数解を２つだけ持つような定数ａの値の範囲を求めよ。

【解答１】（定数分離で解く）
式１を以下の様に変形する。

式２の様に、定数ａを表す関数f(x)の式を求める。
この関数f(x)のグラフの形を調べる。

以上の結果から、関数f(x)の形を表す増減表を書く。

この増減表から、関数f(x)=aの方程式が異なる実数解を２つだけ持つ定数ａの値の範囲は、以下の式であらわせる。

（解答１おわり）

【解答２】
定数分離法を使わないで解くと、例えば、以下の様に解くことになります。

異なる実数解を２つだけ持つには：
(A) a>0 の場合は、
グラフがいったんｘ軸に接する形になる場合に限る。
(B)a<0の場合は、
グラフの傾きが０になるｘ＝βの点で、g(β)<0となる場合に限る。
(C)a=0 の場合は、

となるので、異なる実数解を２つ持つ。　（解１）

g(x)のグラフが上に凸か下に凸か、凹凸混在かを調べるため、g(x)を２度微分する。

(B) a<0の場合は：
g''(x)>0
になるので、
g(x)のグラフが下に凸になる。

(A) a>0の場合は：
ｘが十分小さいときは、
g''(x)>0 になるので、グラフが下に凸。
ｘが十分大きいときは、
g''(x)<0 になるので、グラフが上に凸。

以下で、aの各場合を考察する。

  (B) a<0 の場合：
g(x)の最小値は、

となる点x=βである。
その点ｘ=βで、

が成り立つならば、
異なる実数の解を２つだけ持つ。
(4)を(5)に代入：

式７と式４を連立することで解が得られる。
a<0なので、式４より、

式７と式８より、

で、

g'(β)のグラフの形を調べる。a<0なので、

式９により、g'(β)のグラフの傾きが正であるので、
g'(β)が、

の範囲に解を持つためには、

が成り立つことが必要である。
a<0なので、式１１は成り立っている。
式１０から、

となる。
この式１２は、式４と式７を成り立たせる必要条件である。
逆に、式１２が成り立てば、式１０と式１１が成り立つので式７が成り立ち、式４が成り立つので、式１２は、式４と式７を成り立たせる必要十分条件である。
よって、式１２は、解の１つである。（解２）

 (A) a>0 の場合：

であり、また、
ｘが十分小さいときは、グラフが下に凸であり、
ｘが十分大きいときは、グラフが上に凸であり、
そして、

である。
そのため、

との、式１３と式１４が同時に成り立つxの値の点で、
グラフの凸部分がｘ軸に接することになり、
関数g(x)が異なる実数の解を２つだけ持つ。

(A1) ｘ＝１の場合：
式１４により、

（解３）

(A2) ｘ＝－２の場合：
式１４により、

この式は、ａ＞０の場合に成り立たないので不適。

以上の、解１、解２、解３を合わせて、

（解答２おわり）

解答１と解答２を比べてみると、
この種の問題は定数分離で解く方が良いと分かると思います。

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定数分離法で解く問題

この問題は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問題１】
以下の方程式がｘ＞０で実数解を持つような定数ａの値の範囲を求めよ。

ただし、以下の条件が成り立つものとする。

【解答】（定数分離で解く）

式１の右辺の根号の中は正になる事が確認できた。
次に、式１の両辺を２乗して変形する。

定数分離法で、式３の様に、定数ａを表す関数f(x)の式を求めた。

この関数f(x)のグラフの形を調べる。

これから、

がわかる。
以上の結果から、関数f(x)=aの方程式が実数解を持つ定数ａの値の範囲は、以下の式であらわせる。

（解答おわり）

（補足）
このように、方程式解が解を持つ定数の値の範囲を求める問題に表裏一体の問題として、
f(x)>aが
どのｘであっても成り立つような定数ａの値の範囲
0<a≦4
を求める問題がある。
それは、

という条件が、どの正のｘであっても成り立つような正の定数ａの値の範囲を求めよ、という問題です。

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対称性を用いた定積分

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
f(x)を連続関数とすると、

が成り立つことを示せ。

【解答１】
関数の対称性を利用するため、変数ｘを以下の式２で定義する変数ｔに変換して、ｔの対称な積分範囲で積分する。

 式１の左辺は以下の式に変換できる。

ここで、関数の対称性を利用する。

式３の第１項（式４の左辺）は、t・f(cos(t))の積分である。
cos(t)はｔに関して、cos(-t)=cos(t)となる対称関数（偶関数）である。
そのため、f(cos(t))も、ｔに関して対称な関数（偶関数）になる。
一方、関数 t は、ｔに関して反対称な(ｔの符号が正負逆になれば、値も正負逆になる)関数（奇関数）である。
ｔに関して対称な関数と、ｔに関して反対称な関数の積は、ｔに関して反対称な関数（奇関数）になる。
そのため、t・f(cos(t))は、ｔに関して反対称な関数（奇関数）である。
ｔに関して反対称な関数（奇関数）を、対称な範囲[-a,a]で積分すれば、積分結果は０になる。
式３の第１項は、反対称な関数（奇関数） t・f(cos(t))を対称な範囲で積分しているので、式４のように、その積分結果は０になる。
そのため、積分Aは以下の式で計算できる。

（解答１おわり）

【解答２】
関数の対称性を利用するため、変数ｘを以下の式２で定義する変数ｔに変換して、ｔの対称な積分範囲で積分する。

 式１の左辺は以下の式３に変換できる。

 ここで、この被積分関数のｔを－ｔに置き換えた関数は、ｔ＝０となるｙ軸を鏡にした左右逆の関数になり、左右が入れ替わった関数になるが、
左右が逆という事以外は同じ形の関数になるので、
それをｔの対称な積分範囲で積分した値も同じ値Ａになる。
よって、積分Ａは、式３の関数の積分Ａと、ｔを－ｔに置き換えた関数の積分Ａを加えて２で割り算した値になる。

（解答２おわり）

【解答２の２】
解答２の式３の後の計算は、以下の様に計算することもできる。

（解答２の２おわり）

【解答３】
　解答２の様に、「関数の積分は、その関数を左右を逆にした関数の積分と等しい」という事を使って、その２つの関数の和の平均値で積分を求める。

そのため、先ず、「関数の積分は、その関数を左右を逆にした関数の積分と等しい」という事（当たり前だとは思うが）を以下の様に証明して用いる。

この式５によって、「関数の積分は、その関数を左右を逆にした関数の積分と等しい」事が証明できた。
そのため、以下の式で積分Ａを求める。

（解答３おわり）

【解答４】
解答１で変数ｘを変数ｔに変換して計算する計算を、下図のように、関数の対称軸をY軸から、ｘ＝π／２ の軸に移動させて、その対称軸を基準にして関数を考える。

被積分関数を、この対称軸に関して対称な関数成分と反対称な関数成分に分けて考える。
それは、ｙ＝ｘという関数を、
ｙ＝π／２という関数と、
ｙ＝ｘ－π／２という関数
に分割する事で行なえる。
対称な関数の成分についてのみ積分すれば、式１の左辺の積分が、

式１の右辺の積分になる。
（解答４おわり） 

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関数の関数乗の問題の解答

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問題２】 
以下の関数 h(x)を微分せよ。
ただし、ｘ＞０とする。

【解１】
両辺の対数をとり、微分する。

（解１おわり） 

【解２】
解１の式２から、h(x)を、変数ｘを完全に媒介変数ｓに置き換えて、ｓだけで表した関数m(s)が得られる。

そのため、この関数m(s)を使った合成関数の微分の公式が使える。
更に、この関数m(s)を、変数ｓを完全に媒介変数ｕに
置き換えて、ｕだけで表した関数 g(u)が得られる。

そのため、この関数 g(u) を使った合成関数の微分の公式が使える。
よって、以下の合成関数の微分の公式の連鎖の計算ができる。

 （解２おわり）

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ベクトルの外積（１０）

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
 
【問】以下の図で三角錐ＯＡＣＢと三角錐ＯＡＣＤがある。直線ＢＤと面ＯＡＣの交点をＥとする。この場合に、比ｓ＝ＢＥ／ＢＤを求めよ。

【解答】
　この問題はベクトル方程式を立てて解くことができます。そのベクトル方程式を解くことができる実力は必要です。しかし、ベクトル方程式を解くには時間を必要とします。
　以下では、ベクトルの外積を利用して、ベクトル方程式の解を一気に計算します。

（解答おわり）

上の解は、込み入った式ですので、ベクトル方程式を解いて解を求めた場合でも、その解を、上の式のようにベクトルの内積の形で表現した方が分かりやすくて良いと思います。

（おまけ）以下の関係があります。

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ベクトル：平行平面の利用

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問】以下の図の直線ＭＮと直線ＦＬの交点があれば、その交点Ｐを求めよ。

【解答】

（解答おわり）

　このような空間中の直線同士が交差するかどうかの判定問題は、上図のように、平行平面（面ＣＦＥと面ＤＢＡ）を利用すると分かりやすくなります。

（覚えるポイント）
　交差する２直線は同一平面上にあります。
　そのため、その２直線が平行する２平面の１つと交差する点同士を結んで作ったベクトルの方向は、平行する２平面のどの平面でも同じ方向になります。
（また、平行する２直線は交差しませんが、その２直線は同一平面上にあります。そして、その２直線が平行する２平面の１つと交差する点同士を結んで作ったベクトルの方向も、平行する２平面のどの平面でも同じ方向になります。 ）
　２つの空間直線が面と交差する２点を結んで作ったベクトルの方向が、２つの平行平面の平面によって異なる方向を向くならば、その２直線は交差しません。

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ベクトルの外積で面の法線ベクトルを求める

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問】以下の図で直線ＢＣと直線ＯＧが交差する場合のパラメータｂの値を求め、その場合の交点Ｈの座標を求めよ。




【解１】
　空間直線の交点を求める問題は、いきなり２直線のベクトル方程式を立て、それを無理やり解くのは、計算の見通しが良くないので止めましょう。
　空間直線の交点を求める問題を解く場合は、先ず、交差する２直線が乗る平面の法線ベクトルを計算しましょう。
　そして、直線をその法線ベクトルに直交させる条件を求めることで、その２直線が交点を持つ条件を確定させて計算することが大切です。
　この法線ベクトルは、平面上のベクトルの外積を計算して求めます。
　先ず、以下のようにして、面ＯＢＣの法線ベクトルＶを計算します。

　次に、この法線ベクトルＶにベクトルＧが直交する条件を求めます。法線ベクトルＶにベクトルＧが直交するなら、直線ＯＧは面ＯＢＣ上にあり、直線ＢＣと交わります。

これで、直線ＢＣと直線ＯＧが交差する場合のパラメータｂの値が求まったので、以下のようにして、この値をベクトルＧの式に代入してベクトルＧを定めます。

ベクトルＧも定まったので、以下のようにベクトル方程式を立てて交点Ｈを求めます。
　その際に、空間ベクトルをＹＺ平面に射影して、その射影を見て計算します。
（その理由）
　同一平面上にある空間直線同士の交点を求める方程式は２つで十分であり、３次元ベクトルの計算で出てくる３つの方程式では方程式が１つ余分だから、射影を利用して、その余分な方程式を減らすためです。 

 

（解１おわり）

【解２】
　面ＯＢＣを水平面であると考え、点Ｇの水平面ＯＢＣ上の高さを０にする条件を求めて、解を得ることにします。
（面ＯＢＣを水平面と考えて計算するので、計算の見通しの立て方が解１と同様です。）
　点ＧをベクトルＢＣの方向に移動しても、その点の水平面ＯＢＣに対する高さは変わりません。そのため、先ず、ベクトルＯＢからベクトルＢＣの所定倍数のクトルを引き算して、水平面ＯＢＣからの高さが同じベクトルを計算します。この計算では、ベクトルのｙ成分が０になるベクトルを残すようにします。

次に、そのベクトルから、ベクトルＯＣの所定倍数のクトルを引き算して、水平面ＯＢＣからの高さが同じベクトルを計算します。この計算では、ベクトルのｚ成分も０になるベクトルを残すようにします。

このベクトルの、水平面ＯＢＣからの高さが０になる条件は、このベクトルが０ベクトルになることです。その条件は、残ったベクトルのｘ成分が０になることであって、以下の計算で求められます。

これで、直線ＢＣと直線ＯＧが交差する場合のパラメータｂの値が求まったので、以下のようにして、この値をベクトルＧの式に代入してベクトルＧを定めます。

このあとの計算は、解１と同じ計算をします。
（解２おわり）

　ここで、賢明な読者は気付かれたと思いますが、ベクトルOＧを平面OＢＣ上に定めた時点で、もうベクトル方程式を使わないでも交点Ｈの答えが得られるようになっています。
　すなわち、この問題では、直線ＢＣはＺ＝１の平面上にありますから、ベクトルOＧのＺ座標が１になるようにベクトルOＧを９倍すれば、交点Ｈの位置ベクトルが得られます。
　見通しの良い計算をすれば、単純な問題はこのように単純に解けるようになり、計算時間を節約できる効果があります。

【解３】
　解３は、ベクトルの外積を用いない解き方ですが、以下のように解くこともできます。

　先ず、直線ＢＣと直線ＯＧが交差する場合は、ベクトルＢＣとベクトルＯＧとそして、ベクトルＯＢが同一平面上にあります。その条件を使って以下のように解くことができます。

ベクトルＢＣとベクトルＯＧとベクトルＯＢは以下の式であらわせます。

そして、ベクトルＯＢとベクトルＢＣとベクトルＯＧが同一平面上にある条件は以下の式であらわせます。

この式(4)を以下のように解きます。

これで、直線ＢＣと直線ＯＧが交差する場合のパラメータｂの値が求まったので、以下のようにして、この値をベクトルＧの式に代入してベクトルＧを定めます。

このあとの計算は、解１と同じ計算をします。
（解３おわり）

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