ベン図問題は連立方程式

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【問１】
ある都市でＡ，Ｂ，Ｃの３種類の新聞が発行されている。その都市の世帯で：
　　Ａを購読しているものの割合は６９％
　　Ｂを購読しているものの割合は４６％
　　Ｃだけを購読しているものの割合は３％
　　Ｂ，Ｃの両方を購読しているものの割合は２１％
　　Ａ，Ｃの少なくとも一方を購読しているものの割合は８８％
　　Ｂ，Ｃの少なくとも一方を購読しているものの割合は５０％
　　Ａ，Ｂ，Ｃのうちのどれか１種類だけを購読しているものの割合は６１％である。
このとき次の割合を求めよ。
(ⅰ) Ａだけを購読しているものの割合。
(ⅱ) Ｂだけを購読しているものの割合。
(ⅲ) Ａ，Ｂ，Ｃすべてを購読しているものの割合。
(ⅳ) Ａ，Ｂ，Ｃのどれも購読していないものの割合。
（問題おわり）

【解答】
　ベン図の問題は、（未知数の係数が０か１であらわされた）連立方程式の問題です。一言で言えば、その連立方程式を解けば良いのです。その連立方程式を解きやすくするために樹形図の表現が役立つ場合が多い。

　以下の樹形図を描く。
樹形図で、
未知数の係数が１の場合は〇印であらわし、
未知数の係数が－１の場合は△印であらわし、
未知数の係数が２の場合は２重円であらわして、
連立方程式の計算途中の方程式を記述する。
　そして、図の数字がわかる順に、⑨⑩⑪・・・の順に計算して数字を埋めていく。

その結果、
全ての未知数がわかった。
（解答おわり）

【問２】
ある学校の1学年61人に趣味に関する調査をしたところ、次のア〜キのことが分かった。
ア 読書だけが趣味である人 10人
イ 映画鑑賞だけが趣味である人 6人
ウ スポーツだけが趣味である人13人
エ 読書と映画鑑賞が趣味である人 16人
オ 映画鑑賞とスポーツが趣味である人 10人
カ スポーツと読書が趣味である人 14人
キ 読書と映画鑑賞とスポーツのいずれも趣味でない人 8人

このとき、全ての未知数を求めよ。
（問題おわり）

【解答】
　以下の樹形図を描く。
　そして、図の数字がわかる順に、⑨⑩⑪⑫・・・の順に計算して数字を埋めていく。

⑨=④+⑧,
⑩=①-⑤-②-③-④-⑧,
⑪=⑦-⑩,
⑫=⑪+⑩,
⑬=⑫/2,
⑭=⑤-⑬,
⑮=⑥-⑬,
⑯=⑮+③,
⑰=⑯+⑨,
⑱=①-⑰,
⑲=⑱-⑤,
⑳=⑲-②,

その結果、
全ての未知数がわかった。
（解答おわり）

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ベン図問題は樹形図で解くべし

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【問１】
　集合Ａ，Ｂ，Ｃがある。
ｎ（Ａ∪Ｂ∪Ｃ）＝９９
ｎ（Ａ）＝６５
ｎ（Ｂ）＝４０
ｎ（Ａ∩Ｂ）＝１４
ｎ（Ｃ∩Ａ）＝１１
ｎ（Ｂ∪Ｃ）＝５５
ｎ（Ｃ∪Ａ）＝７８
のとき

（１）　ｎ（Ｃ）はいくつか。
（２）　ｎ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）はいくつか。
（問題おわり）

【解答】
　ベン図の問題は、（未知数の係数が０か１であらわされた）連立方程式の問題です。一言で言えば、その連立方程式を解けば良いのです。その連立方程式を解きやすくするために樹形図の表現が役立つ場合が多い。

　以下の樹形図を描く。
　そして、図の数字がわかる順に、⑥⑦⑧⑨⑩・・・の順に数字を埋めていく。

⑥=①-55,
⑦=①-78,
⑧=①-②,
⑨=④-③,
⑩=⑧-⑨,
⑪=②-③,
⑫=⑧-⑦,
⑬=⑫+⑤,
⑭=⑨-⑦,
⑮=⑪-⑥,
⑯=⑤-⑮,
⑰=③-⑯,

その結果、
ｎ（Ｃ）＝２４
ｎ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）＝４
がわかった。
（解答おわり）

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樹形図で解く分類の分析問題（ベン図問題）（２）

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【問１】
100名の生徒に以下のようなアンケートを行いました。 【カレーライスとハンバーグとスパゲティのどれがすきですか？ 好きなものを選びなさい。】 結果は：
○カレーライスが好きな人は52名。
○スパゲティが好きな人は63名。
○ハンバーグが好きな人は40名。
○カレーライスとハンバーグの両方が好きな人は20名。ただしこの中にはスパゲティが好きな人も含まれる。
○スパゲティとハンバーグの両方が好きな人は40名。ただしこの中にはカレーライスを好きな人も含まれる。
○スパゲティとカレーライスの両方だけが好きな生徒と３つともすきで無い生徒の合計は15名。
　以下の問いに答えよ。
カレーライスだけが好きな生徒ｘ名、
スパゲティだけが好きな生徒ｙ名
を求めなさい。
（問題おわり）

【解１】
　ベン図の問題は、（未知数の係数が０か１であらわされた）連立方程式の問題です。一言で言えば、その連立方程式を解けば良いのです。その連立方程式を解きやすくするために樹形図の表現が役立つ場合が多い。

　以下の樹形図を描く。
　そして、図の数字がわかる順に、⑧⑨⑩・・・の順に数字を埋めていく。 ｘ＝ｂ，ｙ＝ｃ，である。


その結果、
ｘ＝ｂ＝２７
ｙ＝ｃ＝１８
がわかった。
（解１おわり）

【解２】
　ベン図の問題は、（未知数の係数が０か１であらわされた）連立方程式の問題です。

　以下の樹形図を描く。
樹形図で、
未知数の係数が１の場合は〇印であらわし、
未知数の係数が－１の場合は△印であらわし、
未知数の係数が２の場合は２重円であらわして、
連立方程式の計算途中の方程式を記述する。
　そして、図の数字がわかる順に、⑧⑨⑩・・・の順に計算して数字を埋めていく。

⑩=④-⑥,
⑪←⑩,
⑫←⑩,

⑮=②-⑤,

⑰=⑧-⑦,
⑱=③-⑬-⑭,
⑲=⑰-⑮,
⑳=⑲+⑱,
㉑=⑳/2,
㉒=⑰-㉑,

そのように、方程式の変形を縦線であらわして計算した結果、
ｘ＝２７
ｙ＝１８
がわかった。
（解２おわり）

【解３】
　以下の樹形図を描く。
　そして、図の数字がわかる順に、⑧⑨⑩・・・の順に計算して数字を埋めていく。

⑩=④-⑥,
⑪←⑩,
⑫←⑩,

⑮=②-⑤,

⑰=③-⑬-⑭,
⑱=⑮-⑰,
⑲=⑧-⑦-⑱,
⑳=⑲/2,
㉑=⑱+⑳,

そのように、方程式の変形を縦線であらわして計算した結果、
ｘ＝２７
ｙ＝１８
がわかった。
（解３おわり）

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複素数平面のベクトル方程式（１）

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【問１】
以下の方程式の実数p,qを求めよ。


【第１の解】
　先ず、方程式(1)の全体にβの共役複素数を掛け算して、変数ｑの掛かっている項全体を実数にする。
そうした上で、
式全体の虚数成分だけをIm()演算で抽出する計算をする。
そうすれば、変数ｑが掛かった項が消されて、
変数ｐだけが残った式ができる。

　次に、方程式(1)の全体にαの共役複素数を掛け算して、変数ｐの掛かっている項全体を実数にする。
そうした上で、
式全体の虚数成分だけをIm()演算で抽出する計算をする。

（第１の解おわり）

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複素数の分解の公式と、合成の公式

重複組合せ（３） X+Y+Z=N問題と最短経路の数

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【問３】
方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝７の負でない整数解は何個あるか。

【第１の解】
この問題の方程式の解を順次に書くと、
（ｘ，ｙ，ｚ）＝
（０，０，７）
（０，１，６）
（０，２，５）
・・・
と順次に書けます。
ｘが０～何個かであり、
ｙが０～何個かであり、
ｚが０～何個かである
組合せの数を求める問題です。

　このようにしてあらわした、その解の組み合せと１対１に対応する以下の経路を考える。
方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝７の負でない整数解の数は、その経路の数に等しい。

上図のようにｘ行とｙ行とｚ行との３行を有し、横の長さが７の格子を考える。
格子のＡ点からＢ点まで、ｘの行からｚの行まで格子を辿って、右と上に進む最短経路を描く。

上図で、
ｘ＝（ｘ行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
ｙ＝（ｙ行の、階段と階段の間の長さ）
ｚ＝（ｚ行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、
方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝７がいつでも満たされる。

Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝７を満たす（ｘ，ｙ，ｚ）の１つの組合せに
１対１で対応する。
つまり、
（１）どの（ｘ，ｙ，ｚ）の１つの組合せに対しても、必ず１つだけ、ＡからＢへの最短経路がある。
（２）ＡからＢへのどの最短経路に対しても、必ず１つだけ、（ｘ，ｙ，ｚ）の組合せがある。
という関係（１対１対応する関係）がある。

そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、（ｘ，ｙ，ｚ）の組合せの数と等しい。

上図の経路は、
→→↑→→→↑→→
とあらわせる。
すなわち、経路は、(↑)２つと(→)７つの配列であらわされる。
-------（注意）-------
ここで、「配列」という用語の定義を、同じ(↑)２つの順や同じ(→)７つの順を区別しないで配列の数を数える事を「配列の数を数える」と定義する。
「順列」という用語の定義を、１つ１つの(↑)や(→)に名前を付けた９つの要素の順の配列の数を数える事を「順列の数を数える」と定義する。その順列の数＝９！である。
-----（注意のおわり）--------------

（Ａ点からＢ点までの経路は、(↑)２つと(→)７つの配列と１対１対応する）

そのため、図のＡ点からＢ点までの全ての経路の数は：
（３）：　(↑)２つと、(→)７つが作る全ての色配列の数と等しい。ただし、その色配列は、その配列において、個々の(↑)２つの配列の順を区別せず、個々の(→)７つの配列の順を区別しない。

（４）：　その色配列の数は、合計（２＋７）個の矢印から２つを選んで上向き矢印にし、それ以外の矢印は横向き矢印にする組み合わせの数と等しい。

よって、その組み合わせの数は、
（２＋７）！／（２！×７！）
＝_{（２＋７）}Ｃ_２
になる。
（第１の解おわり）

【第２の解（概要のみ）】
　経路を考えずに、
(↑)２つと(→)７つの配列が、方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝７を満たす（ｘ，ｙ，ｚ）の組合せに１対１で対応することに注目することで答えを計算することもできる。
(↑)と(↑)の間の(→)の数が、ｘ、ｙ、ｚに対応するからである。

ここで、
→→↑→→→↑→→
のように、最後にはもう(↑)が無い配列が作られる一方、
例えば、
→→→↑→→→→↑
のように、
最後に並べた(→)の後に、(↑)を加えた配列も作られる。

最後に(↑)を加えた配列は、最後にあたるZの数が０であることをあらわす。

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場合の数と確率

樹形図で解く分類の分析問題（ベン図問題）

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【問１】
　ある特定の50人に対して、「A」、「B」、「C」の3冊に関する調査を行ったところ、次のことが分かった。
ア、いずれも読んでいない 5人
イ、Cだけ読んでいる 10人
ウ、AおよびBを読んで、Cだけを読んでいない 8人
エ、少なくとも、Aを読んでいる 23人
オ、少なくとも、Bを読んでいる 22人
このとき、「A」、「B」、「C」のいずれの本も読んでいる人の人数を答えなさい。
（問題おわり）

【解１】
　ベン図の問題は、（未知数の係数が０か１であらわされた）連立方程式の問題です。一言で言えば、その連立方程式を解けば良いのです。その連立方程式を解きやすくするために樹形図の表現が役立つ場合が多い。

　以下の樹形図を描く。
「A」、「B」、「C」のいずれの本も読んでいる人の人数をｘ人とする。
　そして、図の数字がわかる順に、⑦⑧⑨⑩⑪の順に数字を埋めていく。

その結果、
ｘ＝２
がわかった。
（解１おわり）

【解２】
　以下の樹形図を描いて解く。

その結果、
ｘ＝２
がわかった。
（解２おわり）

【解３】
　樹形図を書く際に、事象の総数がわかっている事象Aや事象Bをなるべく根本に近い部分に配置する。それらよりも、それ以外の事象Cを優先させて根本の近くに置くと、以下の解答のように新たに、縦幹である縦線（方程式をあらわす）を追加して樹形図を再構築する必要を生じる。

　その樹形図の再構築は、以下の解答のように新たに追加する幹は（右端で横幹を作ることはせず）縦幹である縦線のみを追加して解くと、樹形図が単純に描ける。ここで、各縦線が１つの方程式をあらわしていることに注意すること。

そうすることで、
ｘ＝２
がわかった。
（解３おわり）

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複素数平面での軌跡の問題

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【問１】実数の媒介変数ｔを－∞から∞まで変化させたとき、
ｚ＝ｉ・ｔ　（式１）
であらわされる複素数ｚを使って、以下の式で表される複素数ｗの、複素数平面で描く軌跡を示せ。


【解答方針】
（第１優先事項）
　複素数平面のグラフをあらわす方程式を変換する問題は、複素数の計算をせずに、図形の考察で答えを求めるようにする。すなわち、複素数平面のグラフを表わす複素数の変数であらわされた方程式は、複素数の変数を直に変換する計算ではつながない。そうせずに、図形の考察を主にした座標の計算を使えば何とか複素数平面の問題が解けるので、それを第１優先にする。

【解答】
以下の図を描いて考える。

この図から、複素数ｗの、複素数平面で描く軌跡は双曲線になりそうだと予測する。
　次に、以下の計算によって、その予測を確認する。

式(2)の複素数ｗは、式(7)によって、双曲線をあらわすことがわかった。
（解答おわり）
　
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