二重相似の公式と折り返し図形の点の位置

以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。

【公式】

上式のように、Ｘ軸に原点Ｏと点Ａがある。
ＯＡ＝ｓ
である。
Ｘ軸から離れた位置の点ＢからＸ軸へ下ろした垂線のＸ軸上への足をＣとする。そして、
ＡＣ＝１，
ＢＣ＝ａ
とする。
線分ＡＢの延長線ＤＡを折り目線にして原点Ｏに頂点を持つ図形（三角形ＯＡＤ）を折り返すことでＯ点の位置の頂点をＦ点に移す。
線分ＯＦとＤＡの交点をＥとする。
点ＥのＸ軸へ下ろした垂線の足をＧとする。
そのとき、

となることを証明せよ。
（二重相似の公式）

（解説）
　この二重相似の公式によって、
原点Ｏの位置の頂点を折り返した点Ｆの位置座標が、

で計算できる。
　二重相似の公式によって、頂点Ｏを折り返した位置Ｆの座標を計算する式の分母がｃの二乗になっている。
これにより、ｃを計算するための根号が解消して、式が簡単になっている。

【解答】
　以下の図を考える。

直角三角形ＡＥＯが直角三角形ＡＣＢに相似なので、
上図へ長さを書き込んだように、
直角三角形ＡＥＯの辺ＥＡと辺ＥＯは、
ＥＡ＝ｓ／ｃ，
ＥＯ＝ ａｓ／ｃ，
となり、辺の長さの値が、根号であらわされたｃを分母に持つ複雑な値になる。
その直角三角形ＡＥＯに直角三角形ＡＧＥが相似なので、
直角三角形ＡＥＧの辺ＧＡと辺ＧＥの長さは、

になり、辺の長さの式の分母がｃの二乗になる。
また、直角三角形ＡＥＧに直角三角形ＥＯＧが相似なので、
直角三角形ＥＯＧの辺ＧＯは辺ＧＥのａ倍になり、

になる。
（証明おわり）

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