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【問１】
ある都市でＡ，Ｂ，Ｃの３種類の新聞が発行されている。その都市の世帯で：
Ａを購読しているものの割合は６９％
Ｂを購読しているものの割合は４６％
Ｃだけを購読しているものの割合は３％
Ｂ，Ｃの両方を購読しているものの割合は２１％
Ａ，Ｃの少なくとも一方を購読しているものの割合は８８％
Ｂ，Ｃの少なくとも一方を購読しているものの割合は５０％
Ａ，Ｂ，Ｃのうちのどれか１種類だけを購読しているものの割合は６１％である。
このとき次の割合を求めよ。
(ⅰ) Ａだけを購読しているものの割合。
(ⅱ) Ｂだけを購読しているものの割合。
(ⅲ) Ａ，Ｂ，Ｃすべてを購読しているものの割合。
(ⅳ) Ａ，Ｂ，Ｃのどれも購読していないものの割合。
（問題おわり）
【解答】
ベン図の問題は、（未知数の係数が０か１であらわされた）連立方程式の問題です。一言で言えば、その連立方程式を解けば良いのです。その連立方程式を解きやすくするために樹形図の表現が役立つ場合が多い。
以下の樹形図を描く。
樹形図で、
未知数の係数が１の場合は〇印であらわし、
未知数の係数が－１の場合は△印であらわし、
未知数の係数が２の場合は２重円であらわして、
連立方程式の計算途中の方程式を記述する。
そして、図の数字がわかる順に、⑨⑩⑪・・・の順に計算して数字を埋めていく。
その結果、
全ての未知数がわかった。
（解答おわり）
【問２】
ある学校の1学年61人に趣味に関する調査をしたところ、次のア〜キのことが分かった。
ア 読書だけが趣味である人 10人
イ 映画鑑賞だけが趣味である人 6人
ウ スポーツだけが趣味である人13人
エ 読書と映画鑑賞が趣味である人 16人
オ 映画鑑賞とスポーツが趣味である人 10人
カ スポーツと読書が趣味である人 14人
キ 読書と映画鑑賞とスポーツのいずれも趣味でない人 8人
このとき、全ての未知数を求めよ。
（問題おわり）
【解答】
以下の樹形図を描く。
そして、図の数字がわかる順に、⑨⑩⑪⑫・・・の順に計算して数字を埋めていく。
⑨=④+⑧,
⑩=①-⑤-②-③-④-⑧,
⑪=⑦-⑩,
⑫=⑪+⑩,
⑬=⑫/2,
⑭=⑤-⑬,
⑮=⑥-⑬,
⑯=⑮+③,
⑰=⑯+⑨,
⑱=①-⑰,
⑲=⑱-⑤,
⑳=⑲-②,
その結果、
全ての未知数がわかった。
（解答おわり）
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【問１】
集合Ａ，Ｂ，Ｃがある。
ｎ（Ａ∪Ｂ∪Ｃ）＝９９
ｎ（Ａ）＝６５
ｎ（Ｂ）＝４０
ｎ（Ａ∩Ｂ）＝１４
ｎ（Ｃ∩Ａ）＝１１
ｎ（Ｂ∪Ｃ）＝５５
ｎ（Ｃ∪Ａ）＝７８
のとき
（１） ｎ（Ｃ）はいくつか。
（２） ｎ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）はいくつか。
（問題おわり）
【解答】
ベン図の問題は、（未知数の係数が０か１であらわされた）連立方程式の問題です。一言で言えば、その連立方程式を解けば良いのです。その連立方程式を解きやすくするために樹形図の表現が役立つ場合が多い。
以下の樹形図を描く。
そして、図の数字がわかる順に、⑥⑦⑧⑨⑩・・・の順に数字を埋めていく。
⑥=①-55,
⑦=①-78,
⑧=①-②,
⑨=④-③,
⑩=⑧-⑨,
⑪=②-③,
⑫=⑧-⑦,
⑬=⑫+⑤,
⑭=⑨-⑦,
⑮=⑪-⑥,
⑯=⑤-⑮,
⑰=③-⑯,
その結果、
ｎ（Ｃ）＝２４
ｎ（Ａ∩Ｂ∩Ｃ）＝４
がわかった。
（解答おわり）
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【問１】
100名の生徒に以下のようなアンケートを行いました。 【カレーライスとハンバーグとスパゲティのどれがすきですか？
好きなものを選びなさい。】 結果は：
○カレーライスが好きな人は52名。
○スパゲティが好きな人は63名。
○ハンバーグが好きな人は40名。
○カレーライスとハンバーグの両方が好きな人は20名。ただしこの中にはスパゲティが好きな人も含まれる。
○スパゲティとハンバーグの両方が好きな人は40名。ただしこの中にはカレーライスを好きな人も含まれる。
○スパゲティとカレーライスの両方だけが好きな生徒と３つともすきで無い生徒の合計は15名。
以下の問いに答えよ。
カレーライスだけが好きな生徒ｘ名、
スパゲティだけが好きな生徒ｙ名
を求めなさい。
（問題おわり）
【解１】
ベン図の問題は、（未知数の係数が０か１であらわされた）連立方程式の問題です。一言で言えば、その連立方程式を解けば良いのです。その連立方程式を解きやすくするために樹形図の表現が役立つ場合が多い。
以下の樹形図を描く。
そして、図の数字がわかる順に、⑧⑨⑩・・・の順に数字を埋めていく。
ｘ＝ｂ，ｙ＝ｃ，である。
その結果、
ｘ＝ｂ＝２７
ｙ＝ｃ＝１８
がわかった。
（解１おわり）
【解２】
ベン図の問題は、（未知数の係数が０か１であらわされた）連立方程式の問題です。
以下の樹形図を描く。
樹形図で、
未知数の係数が１の場合は〇印であらわし、
未知数の係数が－１の場合は△印であらわし、
未知数の係数が２の場合は２重円であらわして、
連立方程式の計算途中の方程式を記述する。
そして、図の数字がわかる順に、⑧⑨⑩・・・の順に計算して数字を埋めていく。
⑩=④-⑥,
⑪←⑩,
⑫←⑩,
⑮=②-⑤,
⑰=⑧-⑦,
⑱=③-⑬-⑭,
⑲=⑰-⑮,
⑳=⑲+⑱,
㉑=⑳/2,
㉒=⑰-㉑,
そのように、方程式の変形を縦線であらわして計算した結果、
ｘ＝２７
ｙ＝１８
がわかった。
（解２おわり）
【解３】
以下の樹形図を描く。
そして、図の数字がわかる順に、⑧⑨⑩・・・の順に計算して数字を埋めていく。
⑩=④-⑥,
⑪←⑩,
⑫←⑩,
⑮=②-⑤,
⑰=③-⑬-⑭,
⑱=⑮-⑰,
⑲=⑧-⑦-⑱,
⑳=⑲/2,
㉑=⑱+⑳,
そのように、方程式の変形を縦線であらわして計算した結果、
ｘ＝２７
ｙ＝１８
がわかった。
（解３おわり）
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【問３】
方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝７の負でない整数解は何個あるか。
【第１の解】
この問題の方程式の解を順次に書くと、
（ｘ，ｙ，ｚ）＝
（０，０，７）
（０，１，６）
（０，２，５）
・・・
と順次に書けます。
ｘが０～何個かであり、
ｙが０～何個かであり、
ｚが０～何個かである
組合せの数を求める問題です。
この問題は、その解の組み合せと１対１に対応する別の組み合わせを求める以下の問題を考えます。そして、その組み合わせの数を考えると解けます。
初めに、（ｘ，ｙ，ｚ）＝（０，０，０）としておき、
それらのｘ，ｙ，ｚの値を１つづつ増す７つの指令の組合せの数を求める。
その組合せは、以下の、
変数を直接指定する３つの指令と、
変数を間接的に指定する６つの指令
とから成る合計９つの指令のうちから７つを選ぶ組合せと１対１対応します。
ｘ指令：ｘを選んで、その値を１にする。
ｙ指令：ｙを選んで、その値を１にする。
ｚ指令：ｚを選んで、その値を１にする。
第２指令：第１指令で値を設定した変数に更に１を足す。
第３指令：第２指令で値を設定した変数に更に１を足す。
第４指令：第３指令で値を設定した変数に更に１を足す。
第５指令：第４指令で値を設定した変数に更に１を足す。
第６指令：第５指令で値を設定した変数に更に１を足す。
第７指令：第６指令で値を設定した変数に更に１を足す。
上の指令から７つを選ぶ。
その選択の結果、順番が抜けている第ｎ指令の位置に、選ばれたｘ指令、ｙ指令、ｚ指令のいずれかをｘ，ｙ，ｚの順に配置して、第１から第７指令を完成させる。
この指令の組合せは、例えば、
（１）ｙ指令：ｙを選んで、その値を１にする。
第２指令：第１指令で値を設定した変数に更に１を足す。
第３指令：第２指令で値を設定した変数に更に１を足す。
（４）ｚ指令：ｚを選んで、その値を１にする。
第５指令：第４指令で値を設定した変数に更に１を足す。
第６指令：第５指令で値を設定した変数に更に１を足す。
第７指令：第６指令で値を設定した変数に更に１を足す。
です。
この指令群の結果、
ｘ＝０で変わらず、
ｙ＝１＋１＋１＝３
ｚ＝１＋１＋１＋１＝４
となり、
ｘ＋ｙ＋ｚ＝７
を満足しています。
大事なポイントは、この指令の組み合わせが、ｘ＋ｙ＋Ｚ＝７を満足する負でない整数解に１対１に対応することである。
（１）この指令の組み合わせが、ｘ＋ｙ＋Ｚ＝７を満足する負でない整数解を表す。
（２）逆に、ｘ＋ｙ＋Ｚ＝７を満足する負でない整数解は、必ず、これらの指令を７つ組み合わせることによって表すことができる。
そのため、
方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝７の負でない整数解の数
＝ｘ指令とｙ指令とｚ指令とその他の６つの指令から７個を選ぶ組み合わせの数
＝（３＋６）Ｃ７
＝（３＋６）Ｃ２
＝９×８／２＝３６
（第１の解おわり）
【第２の解】
方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝７の負でない整数解が何個あるかを以下のようにして求めることもできる。
上図のようにｘ行とｙ行とｚ行との３行を有し、横の長さが７の格子を考える。
格子のＡ点からＢ点まで、ｘの行からｚの行まで格子を辿って、右と上に進む最短経路を描く。
上図で、
ｘ＝（ｘ行の、Ａ点から昇り階段までの長さ）
ｙ＝（ｙ行の、階段と階段の間の長さ）
ｚ＝（ｚ行の、階段からＢ点までの長さ）
とすると、
方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝７がいつでも満たされる。
Ａ点からＢ点まで、格子をたどって右と上に進む１つの最短経路は、
方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝７を満たす（ｘ，ｙ，ｚ）の１つの組合せに
１対１で対応する。
つまり、
（１）どの（ｘ，ｙ，ｚ）の１つの組合せに対しても、必ず１つだけ、ＡからＢへの最短経路がある。
（２）ＡからＢへのどの最短経路に対しても、必ず１つだけ、（ｘ，ｙ，ｚ）の組合せがある。
という関係（１対１対応する関係）がある。
そのため、Ａ点からＢ点までの全ての経路の数は、（ｘ，ｙ，ｚ）の組合せの数と等しい。
上図の経路は、
→→↑→→→↑→→
とあらわせる。
すなわち、経路は、(↑)２つと(→)７つの配列であらわされる。
-------（注意）-------
ここで、「配列」という用語の定義を、同じ(↑)２つの順や同じ(→)７つの順を区別しないで配列の数を数える事を「配列の数を数える」と定義する。
「順列」という用語の定義を、１つ１つの(↑)や(→)に名前を付けた９つの要素の順の配列の数を数える事を「順列の数を数える」と定義する。その順列の数＝９！である。
-----（注意のおわり）--------------
（Ａ点からＢ点までの経路は、(↑)２つと(→)７つの配列と１対１対応する）
そのため、図のＡ点からＢ点までの全ての経路の数は：
（３）： (↑)２つと、(→)７つが作る全ての色配列の数と等しい。ただし、その色配列は、その配列において、個々の(↑)２つの配列の順を区別せず、個々の(→)７つの配列の順を区別しない。
（４）： その色配列の数は、合計（２＋７）個の矢印から２つを選んで上向き矢印にし、それ以外の矢印は横向き矢印にする組み合わせの数と等しい。
よって、その組み合わせの数は、
（２＋７）！／（２！×７！）
＝（２＋７）Ｃ２
になる。
（第２の解おわり）
【第３の解（概要のみ）】
経路を考えずに、
(↑)２つと(→)７つの配列が、方程式ｘ＋ｙ＋ｚ＝７を満たす（ｘ，ｙ，ｚ）の組合せに１対１で対応することに注目することで答えを計算することもできる。
(↑)と(↑)の間の(→)の数が、ｘ、ｙ、ｚに対応するからである。
ここで、
→→↑→→→↑→→
のように、最後にはもう(↑)が無い配列が作られる一方、
例えば、
→→→↑→→→→↑
のように、
最後に並べた(→)の後に、(↑)を加えた配列も作られる。
最後に(↑)を加えた配列は、最後にあたるZの数が０であることをあらわす。
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場合の数と確率
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【問１】実数の媒介変数ｔを－∞から∞まで変化させたとき、
ｚ＝１＋ｉ・ｔ （式１）
であらわされる複素数ｚが複素数平面で描く軌跡を示せ。
【問２】実数の媒介変数ｔを－∞から∞まで変化させたとき、
ｚ＝１／（１＋ｉ・ｔ） （式２）
であらわされる複素数ｚが複素数平面で描く軌跡を示せ。
（解答）
【問１の解】
式１の複素数ｚは、上図のように、ｚ＝１の点を通り、実軸に垂直な直線上にある。
【問２の解】
式２の複素数ｚは、上図のように、ｚ＝０とｚ＝１とを直径の両端とする円の上にある。
ただし、ｚ＝０の点は通らない。
それを以下で証明する。
（証明開始）
ｚは、
ｚをあらわす複素数平面での点Ｃに関して、
｜ｚ｜＝線分ＯＣ＝１／｜（１＋ｉ・ｔ）｜＝１／線分ＯＡ
であるから、
ＯＣ／ＯＢ＝ＯＢ／ＯＡ
であり、
△ＢＯＣの２辺ＯＣとＯＢの辺の長さが△ＡＯＢの２辺ＯＢとＯＡから同じ比で縮小されている。
また、
ａｒｇ（ｚ）＝－∠ＢＯＣ＝－ａｒｇ（１＋ｉ・ｔ）＝－∠ＡＯＢ
であるから、
△ＢＯＣの２辺ＯＣとＯＢの間の角が、△ＡＯＢの２辺ＯＢとＯＡの間の角と等しい。
∴ △ＢＯＣ∽△ＡＯＢ
そのため、
∠ＯＣＢ＝∠ＯＢＡ＝∠Ｒ＝９０度
∠ＯＣＢは常に９０度なので、
Ｃ点は、ＯＢを直径とする円周上にある。
ただし、式２のｚは０では無いので、ｚ＝０の点は通らない。
（証明おわり）
（別解）
以下のようにして証明することもできる。
（注意）上のようにｔの値にかかわらず｜分子／分母｜＝１となる式、（１－ｉ・ｔ）／（１＋ｉ・ｔ）を作ることがポイント。
よって、
よって、
｜ｚ－（１／２）｜＝１／２
よって、ｚは、値（１／２）を中心にする、半径（１／２）の円上にある。
ただし、ｚは０では無いので、値０にはならない。
（証明おわり）
【一番簡単な方法】
ここをクリックした先に、（ｉｔ）単体をｚの式であらわして、そのｚの式に（ｉｔ）単体の満たす条件をあてはめて計算する方法を示します。
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