直交した基準ベクトルを使って三角形の外心を導く

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【一番簡単な解き方の秘訣】
　（あるベクトルｍとｃとが互いに垂直であるという条件のある図形の問題を解くときは、
（１）それらのベクトルｍとｃを、互いに垂直な単位ベクトルｘとｙの合成であらわして（ただし、ベクトルｘは三角形の所定の辺の方向に平行。ベクトルｙはその辺に垂直な方向を向く）、
（２）そして、ベクトルｍとｃが垂直である条件として内積が０であるというベクトル方程式を作って計算すると、
計算が一番簡単になります。）

【解答１】
　以下の図のような三角形ＡＢＣを考えて、ベクトル方程式を解いてベクトルＭＯの解の公式を計算する。

ここで、互いに直交するベクトルｘとｙと未知数ｍでベクトルＭＯ等をあらわす。このときベクトルDＯとベクトルｃが直交するベクトル方程式を作って、それを解きます。

（解答１おわり）

【解答２】
　互いに直交する基準ベクトルをベクトルａとベクトルａv にして計算することができる。ベクトルｃと同時にそれに垂直なベクトルｃv が存在して同時に定義できると考える。そうすると、ベクトルBOが、以下の式であらわせる。

（解答２おわり）

（補足）
　三角形ＡＢＣの面積をＳとすると、以下の式で面積Ｓがあらわせるからです。


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複素数平面のベクトル方程式での外心の導出

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【問題１】
　複素数平面上で、原点0と点A(a)と点B(b)とを通る円の中心の位置をMとする。線分OAの中点をHとしたとき、ベクトルHMを複素数ａとｂとであらわす式を求めよ。


【解答１】
ベクトルＯＭをあらわす複素数は、実数ｍと実数ｋを使って２通りにあらわせます。
そのベクトル方程式を、複素数であらわす。そして複素数計算での、ベクトルｂとの内積の計算をする。それにより、ベクトルｂに垂直なベクトルを除去し未知の実数ｋを除去して計算を進める。

これで、実数のパラメータｍの値が得られた。
これを使ってベクトルHＭが計算できた。
（解答おわり）

（補足）この解は、ベクトルで外心位置を計算するときにとても苦労していた問題を、複素数平面の計算によって簡単に解けるようになったことを意味する。

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複素数平面で三角形の外心を求める

複素数平面のベクトル方程式での垂心の導出

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　複素数平面であらわした複素数はベクトルです。
（実際、ベクトルＰを複素数ｘ＋ｉｙと等号で結ぶ表現をすることもあります。)

以下では、複素数平面上の複素数を用いてベクトルの内積の計算式をどの様に書けば良いかを、以下の問題を例にして説明します。

【問題１】
　複素数平面上で、原点0を中心にした半径Rの円がある。その円上の３点の座標を、複素数でα、β、γとすると、その３点が作る三角形の垂心の位置を表す複素数ｈを求めよ。


【解答１】

　問題を簡単化するため、半径１の円に内接する三角形ABCを考えます。
その円の中心を複素数平面の原点Oにし、点A，Ｂ，Ｃの複素数平面での座標をα、β、ɤとします。
上図の、複素数であらわしたベクトルａ，ｂ，ｃを考えます。
ベクトルａ＝ɤ－β，
ベクトルｂ＝α－ɤ，
ベクトルｃ＝α－β，
です。
点Ａから垂心Ｈまでのベクトルをあらわす複素数は、実数ｋのパラメータを使って：
ｉｋ（ベクトルａ）
であらわせます。
すると、
ベクトルＢＨとベクトルｂが垂直なので、両ベクトルの内積が０になる方程式を作れます。
その方程式を、以下の様に複素数を使って解く事ができます。

これで、実数のパラメータｋの値が得られました。
これをｉｋ（ベクトルａ）の式に代入して計算します。

ここで、以下の、複素数平面の公式を使って計算を進めます。
（公式１）
　２つの任意の単位ベクトルに関して、以下の公式を導き出すことができます。

以下の式も成り立ちます。

この公式を使って、以下の計算をします。

この式を使って、ｉｋ（ベクトルａ）の式の計算を続けます。

こうして、三角形の垂心の位置を表す複素数ｈをあらわす式を求める事ができました。
（解答１おわり）

【解答２】

　問題を簡単化するため、半径１の円に内接する三角形ABCを考えます。
その円の中心を複素数平面の原点Oにし、点A，Ｂ，Ｃの複素数平面での座標をα、β、ɤとします。
上図の、複素数であらわしたベクトルａ，ｂ，ｃを考えます。
ベクトルａ＝ɤ－β，
ベクトルｂ＝α－ɤ，
ベクトルｃ＝α－β，
です。

ベクトルＢＨをあらわす複素数は、実数ｋと実数ｓを使って２通りにあらわせます。
そのベクトル方程式を、以下の式のように複素数であらわす。（ベクトルｃを複素数であらわす）。そして複素数計算での、ベクトルｃとの内積の計算をする。それにより、ベクトルｃに垂直なベクトルを除去し未知の実数ｓを除去して計算を進める。

これで、実数のパラメータｋの値が得られました。
これを使ってベクトルＡHを計算します。

ここで、解答１で示した公式１を使って、以下の計算をします。

この結果を使って、ベクトルＡＨの計算を続けます。

こうして、三角形の垂心の位置を表す複素数ｈをあらわす式を求める事ができました。
（解答２おわり）

（補足１）
　この解は、ベクトルで垂心位置を計算するときにとても苦労していた問題を、複素数平面の計算によって簡単に解けるようになったことを意味する。

（補足２）
　複素数平面のベクトル方程式f=0の計算のコツは、
0=Re((f)(g'))というふうに、式 f に、ある複素数gの共役複素数g'を掛け算した式の実数成分を求める式を作る。すなわち、複素数平面におけるベクトルfとベクトルgの内積を計算する。その式の中で掛け算するg'は、1/g にしても良い。1/g はgの共役複素数に平行だからである。
　それにより、式 f に含まれる、ベクトル g に垂直なベクトル成分を除去する。

【問題２】
　複素数平面上で、原点0を中心にした半径１の円がある。その円上の異なる3点A(α)、B(β)、C(γ)が作る三角形の点Aから直線BCへ下ろした垂線の足をH(ε)とする。点Hの位置をあらわす複素数εを、点A,B,Cの位置から導き出す式を求めよ。

【解答】


上図の、複素数であらわしたベクトルａ，ｂ，ｃを考えます。
ベクトルａ＝ɤ－β，
ベクトルｂ＝α－ɤ，
ベクトルｃ＝α－β，
です。

　ベクトルｃは、ベクトルａと実数ｘの積のベクトルと、ベクトルａに垂直なベクトルと実数ｙの積のベクトルとの和であらわせる。ベクトルａを複素数ａであらわす。
そのベクトル方程式とベクトルａの内積をとって、方程式から未知の実数ｙを除去して解く。

これで、実数のパラメータｘの値が得られた。
これを使ってベクトルBHをあらわす式を計算する。

そして、点Hの位置をあらわす複素数εを計算する。

（解答おわり）

（補足）
  ここで、なぜ、

となるかを考察してみます。
その理由は、

となるからです。
それゆえに、

となるからです。
　公式は、あたりまえだ、と思うまで理解すると、覚えやすくなります。

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垂線の足までのベクトルの複素数の公式
複素数平面で三角形の外心を求める

任意の整数nに対するxの方程式が整数解を持つ問題

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　任意の整数ｎに対するｘの方程式が整数解を持つ問題は、ｎの絶対値が十分大きい場合を考えて解くと問題が解き易くなります。

【問題１】
ａは実数の定数とする。任意の整数nに対する次のxの方程式が整数解を持つようなａの値をすべて求めよ。


【解答１】
　この問題は、ｎの値毎に異なるｘの整数解があり得ると考えつつ解く。また、この問題の条件は、式(1)が少なくとも１つの整数解を持つだけで良いとみなして解く。

先ず、n=0 の場合を考える。
その場合は、　３ｘ＋ａ＝０
が成り立つ。
そのため、ｘが整数解を持つために、ａが（０を含む）３の倍数でなければならない結論を得る。　（第０の条件）

|n|が十分に大きい場合を考える。
(1)より、

|n|が十分に大きい場合に、有限の値のxの解があるならば、上の式(2)は以下の式に収束する。

nの絶対値が十分に大きい場合には、式(2)の解は以下の値程度になると計算できる。

　式(2)のこの解は、有限の値のｘの解を持つ。また、この解は、式(3)の整数解とわずかしか異なることができない。その式(2)が１つの整数解を持つ場合は、その１つの整数解は、式(3)の２つの整数解のいずれか１つの整数解にしか成り得ない。式(3)のｘの整数解は、
ｘ＝０，ー１
の２つがある。
（第１の解）式(2)がx=0 の整数解を持つ場合は、a=0 が必要である。この解は、ａが３の倍数であり、第０の条件も満足する。なお、式(2)の他のｘの解は整数解ではない。
（第２の解）式(2)がx=-1 の整数解を持つ場合は、a=3 が必要である。この解は、ａが３の倍数であり、第０の条件も満足する。なお、式(2)の他のｘの解は整数解ではない。
　いずれの場合でも、式(2)の第１項と第２項の和が式(3)の左辺と同じなので、式(2)が式(3)の解のうちの１つを持つ場合は、第１項と第２項の和が０になる。また、そのときに式(2)が０になるため、残りの第３項も０になる。それは、以下の式(4)の条件が成り立つことを意味する。その式(4)によって a の解が定まる。


このように、|n|が十分に大きい場合に対して、aの解が得られた。
　このａの解は、整数ｎの絶対値が十分に大きい場合に限らず、ｎがどの整数値の場合でも、ｎが０の場合でも、ｘの解を整数値にすることができるａの解である。
すなわち、ａ＝０ 又は ａ＝３
（解答１おわり）

【解答２】
　この問題は、ｎの値毎に異なるｘの整数解があり得ると考えつつ解く。また、この問題の条件は、式(1)が少なくとも１つの整数解を持つだけで良いとみなして解く。

先ず、n=0 の場合を考える。
その場合は、　３ｘ＋ａ＝０
が成り立つ。
そのため、ｘが整数解を持つために、ａが（０を含む）３の倍数でなければならない結論を得る。　（第０の条件）

|n|が十分に大きい場合を考える。
(1)より、

|n|が十分に大きい場合に、（1+(3/n)）が１に収束するので、上の式(2)は以下の式に収束する。

そのため、式(2)の解は、|n|が十分に大きい場合にこの収束した式の解に近い解を持つ。その解が整数解を持つならば、この収束した式の整数解の、ｘ＝０、または、ｘ＝ー１を解に持つ可能性がある。
（第１の解）式(2)がx=0 の整数解を持つ場合は、式(2)にｘ＝０を代入する。

a=0 が必要である。この解は、ａが３の倍数であり、第０の条件も満足する。なお、式(2)の他のｘの解は整数解ではない。
（第２の解）式(2)がx=-1 の整数解を持つ場合は、式(2)にｘ＝－１を代入する。

a=3 が必要である。この解は、ａが３の倍数であり、第０の条件も満足する。なお、式(2)の他のｘの解は整数解ではない。

このように、|n|が十分に大きい場合に対して、aの解が得られた。
　このａの解は、整数ｎの絶対値が十分に大きい場合に限らず、ｎがどの整数値の場合でも、ｎが０の場合でも、ｘの解を整数値にすることができるａの解である。
すなわち、ａ＝０ 又は ａ＝３
（解答２おわり）

【解答３】
先ず、n=0 の場合を考える。
その場合は、　３ｘ＋ａ＝０
が成り立つ。
そのため、ｘが整数解を持つために、ａが（０を含む）３の倍数でなければならない結論を得る。　（第０の条件）

|n|が十分に大きい場合を考える。
(1)より、

nの絶対値が十分に大きい場合には、式(2)の解は以下の値程度になると計算できる。

　式(2)のこの解は、有限の値のｘの解を持つ。この解は、|n|が十分に大きい場合に整数解を持つならば、ｘ＝０、または、ｘ＝ー１を解に持つ可能性がある。
（第１の解）式(2)がx=0 の整数解を持つ場合は、式(2)にｘ＝０を代入する。

a=0 が必要である。この解は、ａが３の倍数であり、第０の条件も満足する。なお、式(2)の他のｘの解は整数解ではない。
（第２の解）式(2)がx=-1 の整数解を持つ場合は、式(2)にｘ＝－１を代入する。

a=3 が必要である。この解は、ａが３の倍数であり、第０の条件も満足する。なお、式(2)の他のｘの解は整数解ではない。

このように、|n|が十分に大きい場合に対して、aの解が得られた。
　このａの解は、整数ｎの絶対値が十分に大きい場合に限らず、ｎがどの整数値の場合でも、ｎが０の場合でも、ｘの解を整数値にすることができるａの解である。
すなわち、ａ＝０ 又は ａ＝３
（解答３おわり）

（補足１）
　論点を明確にする解をつきつめた結果、解答３の方が、解答１よりも単純かつ明快な解答になった。解答１の論理を工夫して解答２が作れた。解答２の方が解答３よりも単純な解答になった。

（補足２）
　この問題で、式(2)が１つの整数解を持っても、式(2)のもう１つの解は整数解ではなく、それはｎに依存する解になることに注意すべき。式(2)の解はｎに依存する解である。定数ａを定めると、式(2)の解のうちの１つを整数解にするだけである。定数ａの値を所定の値にすると式(2)の全ての解が整数解になるという解釈は間違っている。

（補足３）
　ｎの値毎に異なるｘの整数解があり得ると考えつつ解いたが、ｘの整数解がｎの関数になるということは起こらなかった。そのかわり、整数解以外のｘの解はｎの関数になった。
　ｘの整数解がｎの関数になるような式は、例えば (x-n)(x-2n)=0 という方程式のように、ｘの１次の係数がｎの倍数になるような式でなければあり得ないことだとも思う。例えば、方程式：

が任意のｎで整数解を持つような実数aの条件を求めよ、
という問題ならば、ｘの整数解がｎの関数の整数解を持つ問題になると思う。

【問題２】
ａは実数の定数とする。以下の式(1)が任意の自然数nに対して自然数Bになる場合、

以下の式(2)が成り立つことを証明せよ。

（問題おわり）

【解答】
自然数ｎが十分に大きい場合に、以下の式が成り立つ。

このように、自然数ｎが十分に大きい場合にいつも式(1)のＢが自然数になるならば、式(2)が成り立った。
　この式(2)は、自然数ｎが十分に大きい場合に限らず、ｎがどの自然数の場合でも、式(1)のＢを自然数にする解である。
（解答おわり）

【問題３】
ａは実数の定数とする。以下の式(1)が任意の自然数nに対して自然数Bになる場合、

以下の式(4)が成り立つことを証明せよ。

（問題おわり）

【解答１】
自然数ｎが定数ａよりも十分に大きい場合に、以下の式が成り立つ。

このように、自然数ｎが十分に大きい場合にいつも式(1)のＢが自然数になるならば、式(4)が成り立つ。
　この式(4)は、自然数ｎが十分に大きい場合に限らず、ｎがどの自然数の場合でも、式(1)のＢを自然数にする解である。
（解答１おわり）

【解答２】
自然数ｎが定数ａよりも十分に大きい場合に（式(2)）、以下の式が成り立つ。

このように、自然数ｎが十分に大きい場合にいつも式(1)のＢが自然数になるならば、式(4)が成り立つ。
　この式(4)は、自然数ｎが十分に大きい場合に限らず、ｎがどの自然数の場合でも、式(1)のＢを自然数にする解である。
（解答２おわり）

（補足）
　この問題３の定理は、公式だと言ってしまいたい定理です。しかし、この定理を使うときは上記のようにきちんと定理を証明して使う必要があります。

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空間図形の面と直線の交点を求める解き方のバラエティ

このページはここをクリックした先の問題の解答集です。

【問１】以下の空間図形の線分ＯＢと、三角形ＤＥＦが張る面βとの交点Ｇの位置ベクトルをもとめよ。
　なお、ベクトルＯＡをベクトルａとし、ベクトルＯＢをベクトルｂとし、ベクトルＯＣをベクトルｃとする。
　そして、点Ｄは線分ＯＡを２：３に内分する点、点Ｅは線分ＡＣを２：１に内分する点、点Ｆは線分ＢＣを１：２に内分する点である。


【解答１】ここをクリックして解答１を見てください。
　３点Ｄ、Ｅ、Ｆの位置ベクトルを式１から３であらわす。線分ＯＢと面の交点Ｇの位置ベクトルをベクトル方程式であらわす。

【解答２】ここをクリックして解答２を見てください。
　パラメータｓであらわした直線の式と、パラメータｗ、ｕであらわした面の式をイコールで結んで計算する。

【解答３】ここをクリックして解答３を見てください。
　面ＤＥＦの法線ベクトル（面に垂直なベクトル）への各ベクトルの射影を見て交点Ｇにおける、比ｓ＝ＯＧ／ＯＢを求める。

【解答４】ここをクリックして解答４を見てください。
　ベクトルａ、ｂ、ｃであらわした立体図形を、アフィン変換で、問題が解きやすい形に変形する。

【問２】
四面体OABCがあり、

とし、点Ｄを、以下の式(1)で定める。

点Xは、三角形ABCの辺上または内部にあるものとして、以下の式(2)で定める。

このとき、直線DXと平面OABとの交点Pの位置をあらわすベクトルＯＰを求めよ。

【解答】ここをクリックして解答を見てください。

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