複素数平面で三角形の外心を表す問２の解（その３）の解の変形

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問２】

上図のように、三角形ＡＢＣの各頂点の複素数平面での座標をα､β、ɤとする場合に三角形の外心Ｐの座標をα､β、ɤ及びその共役の複素数であらわす式を求めよ。

【問２の解答（その３）】の結論：

（解答おわり）
　この第２の形の式は定石の形の式にまで変形可能ですが、この形を解として良いと考えます。

【定石の形の式との関係】
　問１の解答の定石の形の式を第２の形の解に変換するには、以下の煩雑な計算が必要です。

（問２の解答の第２の式の形）
変換はできましたが、これほど計算が多いと、これでは、種々の形の解を式の変換によって発見する事は無理です。

以下では、この問題２の解答（その３）の第２の形の式を、
点Bを原点にした場合の式に変形して、
その式を定石の形の解答の式に変形する計算をしてみます。

 （定石の形の解）
このように第２の形の式を定石の形の式に変形できましたが、この計算量も多いです。
　この様に、第２の形の式を変形してこの定石の形の式に変換する事はできますが、その複素数の式の変形操作は、この定石の形の解を発見する原動力にはならないと考えます。

【第４の形の解】
また、この定石の形の式は、以下の第４の形の解に変形することもできます。

（第４の形の式）

この第４の形の式は、ベクトルＡに垂直なベクトルＡ_ｖとベクトルＣに垂直なベクトルＣ_ｖの所定係数倍で外心の座標を表す定理を表しています。

このように、複素数平面での各式は、何等かの定理を表していると考えられます。それぞれの解が、その解に対応する定理を表しているので、それぞれの解が、同等な価値を持つ解であって、どの解が最善の解と定める事はできません。

【第５の形の解】
先の計算によって以下の形の第４の形の解が得られた。

ここで、複素数AとCを使ってPを表すことができたが、この式には虚数 i が使われています。
以下では、複素数の分解の公式を使って、虚数 i が使われていない式（第５の形の解）を求めます。

この式を第４の形のPの式に代入して変形します。

 ここで、以下の図の、三角形の高さｈを使って式を変形する。

（第５の形の解おわり）
この第５の式は、複素数の分解の公式を利用して以下の様に計算する事でも得られる。

（第５の形の解おわり）

【第６の形の解】
先に得た第４の形の解は、以下の様に計算することで、
問３の解の第６の形の式に変形できます。

（第６の形の解）
この変換の計算も計算量が多い計算でした。

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