以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】（ややこしい問題）
上図のように、１辺の長さが５の正方形を底面とし、高さが１０の直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。点ＰをＢＰ＝３となるように辺ＢＦ上に、点ＱをＤＱ＝５となるように辺ＤＨ上にそれぞれとる。３点Ａ，Ｐ，Ｑを通る平面と辺ＣＧとの交点をＲとする。このとき、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線の長さを求めよ。
（注意）
この問題は、良く整理して解かないと、計算の森に迷い込むややこしい問題です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。このややこしい問題を自力で解いてから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。
そのため、このややこしい問題を学ぶ目的は、
この問題を簡単に解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この問題を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、問題を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。
（解答の方針）
（１）難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
（２）立体図形は、平面図形の問題に変換して解く。
（３）第１の面への垂線を求める問題は、第１の面上の１本の直線に垂直な第２の面を考える。その第２の面上の直線で、第１の面に垂直な直線が求める垂線である。
【解答】
この立体問題を簡単な形の、２つの平行する面に変換して解きます。
（１）上図のように、平行する面ＡＤＨＥと面ＢＣＧＦを考える。
それら２つの面と面ＡＰＲＱの交線はＡＱとＰＲです。
面ＡＤＨＥと面ＢＣＧＦは平行なので、
交線ＡＱとＰＲも平行です。
（２）次に、面ＢＣＧＦ上で、面ＡＰＲＱ上の１本の直線ＰＲに垂直な第２の面を考える。
第２の面は、直線ＰＲに垂直な直線ＣＴを含む面にすれば良い。
（３）第２の面は面ＢＣＧＦ上の直線ＰＲに垂直なので面ＢＣＧＦに垂直である。そのため、第２の面は、面ＢＣＧＦの垂線ＣＤを含む面ＣＴＳＤである。
（３ａ）そして、その第２の面と面ＡＤＨＥの交線ＤＳは、面ＡＤＨＥが面ＢＣＧＦに平行なので、その第２の面と面ＢＣＧＦの交線ＣＴに平行である。
そのため、第２の面ＣＴＳＤは長方形である。
（４）第２の面ＣＴＳＤは、 面ＡＰＲＱと直線ＪＫで交差する。
（５）第２の面ＣＴＳＤ上の直線ＪＫに垂直な直線ＣＬが、求めるべき、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線である。
そして、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線の長さは、線分ＣＬの長さである。
（６）以上の考察で、解答の道筋が分かったので、次に、詳しい計算を開始する。
上図で、線分の長さを①、②、③の順に計算した。
よって、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線の長さ
が求められた。
（解答おわり）
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【問１】（難問）
上図のように、円周上に５点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅがあり、弧ＡＢ＝弧ＣＤである。
また、線分ＣＥと線分ＢＤの交点をＦ、線分ＣＥと線分ＡＤの交点をＧとし、線分ＤＥ上にＢＤ//ＧＨとなる点Ｈをとる。
ＥＧ＝ＧＦ，ＧＨ＝３のとき、線分ＥＧの長さを求めなさい。
（注意）
この問題は難問です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で解いてから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。
そのため、この難問を学ぶ目的は、
この難問を解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この難問を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、難問を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。
（解答の方針）
（１）難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
（２）図形の難問は、図形を完成させてから解く。
（３）相似図形があったら、その相似図形の辺の関係式を全て書いて、その式を自分で見て考えられるようにする。
そのため、先ず、この問題を簡単な形の、以下の【問２】に変換して解きます。
【問２】
点Ｂ，Ｃ，Ｆを一点にする。そしてＣＥを円の直径にする。
ＡＢ＝ＣＤなので線分ＡＤはＣＥに垂直である。
また、ＦＧ＝ＧＥにするために、線分ＡＤは円の中心を通る直径にする。
このときｘを求めよ。
【解答】
図からｘの値がすぐわかる。
（解答おわり）
【問１】（難問）
解答がわかったので、その解答を、問１で導く。
ＥＧの長さを求めよ。
【解答】
以下のように、問題の条件を上図に書き込む。
更に補助線を加えて、同じ円周角を書きこんで図形を完成させる。
完成させた図形を見ると、３頂角が等しいので三角形ＥＧＤと三角形ＧＨＤが相似だとわかる。
２つの図形が相似だと分かったら、相似な図形の辺の関係の式を全部記載して、自分が式を見て考えられるようにする。
上の式は、以下の式１と式２の連立方程式を含んでいる。
連立方程式を解いたら解答が得られた。
（解答おわり）
【別解】
この問題の以下の相似図形を見つけて解答することもできる。
（解答おわり）
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【問１】（難問）
上図のように、円Ｏと円Ｏの周上にない２点Ａ，Ｂがある。
円Ｏの直径ＰＱをひいたとき、ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱを１つ、定規とコンパスを用いて作図し、点Ｐおよび点Ｑの位置を示す文字Ｐ，Ｑも書きなさい。
ただし、作図に用いた線は消さないでおくこと。
（注意）
この問題は難問です。以下の理由により、安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で解いてから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
出題高校の意図を推測すると、「単にいろいろな難問の解き方を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図がある考えます。
そのため、この難問を学ぶ目的は、
この難問を解こうとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この難問を自力で解くまでは解答を見ずに、ベストな勉強方法としては、難問を解く努力をした後（解けないで寝て良い）寝ている間に知能ホルモンの分泌をさせる。それを何回か繰り返すのが良いと考えます。
（解答の方針）
難問が解けずに寝るとき、寝ている間も何とか問題を解こうとして、そのために、問題を考え易い簡単な形にして、解こうとするだろうと思います。
そのように簡単な形に問題を変換して考えることが、あらゆる難問を解くコツです。
そのため、先ず、この問題を簡単な形の、以下の【問２】に変換して解きます。
【問２】
ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱの点の位置を求める。
【解答】
図の不足を埋めて以下の図を書きます。
この図のように、
ＡＰ＝ＢＱとするには、ＡＢを幅にする帯で、直線ＡＯに垂直な帯を書く。
その帯と同じ幅の帯を円の中心Ｏを中心にして書く。
その帯の右の縁と円Ｏの交点をＰとし、
帯の左の縁と円Ｏの交点をＱとする。
するとＡＰ＝ＢＰ
になることがわかる。
これで、点ＰとＱの位置が求められた。
（解答おわり）
【問３】
次に、Ａ点とＢ点を少しだけ上下にずらした問題を考える。
ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱの点の位置を求める。
【解答】
この問題の図を見ると、問１と同じように、ＡＢの中点とＯ点を結ぶ直線に垂直な帯を考えれば解けることがわかる。
この図のように、
ＡＰ＝ＢＱとするには、ＡＢの中点とＯ点を結ぶ直線に垂直な帯で、
その帯の右の縁を点Ａを通らせ、
帯の左の縁を点Ｂを通らせる。
そうすると、
ＡＢの中点とＯ点を結ぶ直線からの、上の点Ａまでの高さと、
その直線からの、下の点Ｂまでの高さ（低さ）が
同じ長さになる。
その帯と同じ幅の帯を円の中心Ｏを中心にして書く。
その帯の右端と円Ｏの交点をＰとし、
帯の左端と円Ｏの交点をＱとする。
するとＡＰ＝ＢＰ
になることがわかる。
これで、点ＰとＱの位置が求められた。
（解答おわり）
【問４】
次に、Ａ点とＢ点を大きく上下にずらした問題を考える。
ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱの点の位置を求める。
【解答】
この問題の図を見ると、問２と同じように、ＡＢの中点ＣとＯ点を結ぶ直線ＣＯに垂直な帯を考えれば解けることがわかる。
この図のように、
ＡＰ＝ＢＱとするには、直線ＣＯに垂直な帯で、
その帯の右の縁を点Ａを通らせ、
帯の左の縁を点Ｂを通らせる。
そうすると、
直線ＣＯからの、上の点Ａまでの高さと、
その直線からの、下の点Ｂまでの高さ（低さ）が
同じ長さになる。
その帯と同じ幅の帯を円の中心Ｏを中心にして書く。
その帯の右端と円Ｏの交点をＰとし、
帯の左端と円Ｏの交点をＱとする。
するとＡＰ＝ＢＰ
になることがわかる。
これで、点ＰとＱの位置が求められた。
（解答おわり）
【問１】（難問）
問４の解き方を整理すれば、以下の手順で問１が解ける。
ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱの点の位置を求める。
【解答】
この図のように、先ずＡＣの中点Ｃを求める。
次に、以下の図を書いて、点ＰとＱの位置を求める。
この図のように書くと、ＡＰ＝ＢＱとなる直径ＰＱの点ＰとＱの位置が求められる。
（解答おわり）
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以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
以下の問題は、「相似図形同士で辺の比が等しい公式」を使う問題です。
【問１】（難問）
上図のように、三角形ＡＢＣの頂角Ａの二等分線の長さｍに間して式１が成り立つことを証明しなさい。
（注意）
この問題は、「角の二等分線の長さの定理」であり、有名な定理ですが、その証明を見たことの無い学生にはかなりな難問です。以下の理由により、有名定理だからと言って安易に解答を見ないよう注意してください。この難問を自力で証明してから解答を見てください。
（解けるまで解答を見ない理由）
この定理よりも覚え易い定理に中線定理があります。
しかし、高校入試問題を見ると、
その中線定理を使うよう誘導している入試問題が、その誘導にもかかわらず、中線定理を使わないでも解けるようにした問題を出題しています。
その出題高校の意図を推測すると、
「単にいろいろな定理を覚えて知っている学生よりも、想像力豊かで知能が高く融通性に富んだ学生の方を合格させたい」
という意図があるように考えられます。
そのため、この「角の二等分線の長さの定理」を学ぶ目的は、
この定理を証明しようとする努力により知能を高めるホルモンが分泌されて知能を高めること、
を第１の目的にするのが良いと考えます。
そのため、この定理を自力で証明するまでは解答を見ずに、知能ホルモンの分泌を続けるのが良いと考えます。
（解答の方針）
辺の長さの積の定理は、相似図形では辺の比が同じであることに由来します。結局、辺の長さの積の定理は、ある相似図形に由来する定理です。そのため、この問題は、相似図形を探す問題です。
この問題のように、辺の長さの積の定理の問題は、
（１）図の不足を埋めて図を完成させてから、
（２）相似図形を発見して、相似図形の辺の比が等しい式を書いて
問題を解くように心がけてください。
【証明開始】
図の不足を埋めて以下の図を書きます。
この図を書いて
三角形ＡＢＥと三角形ＡＤＣが、２つの角度が等しく相似であることを発見しました。
そのため、「相似図形同士で辺の比が等しい」 公式を使い、以下の辺の比の式を書き、
その式を変形して、以下の、辺の積の式２を導き出します。
次に、以下の図のように、もう１つの相似な図形の組を発見して、
「相似図形同士で辺の比が等しい」 公式を使い、以下の辺の比の式を書きます。
こうして、相似な図形の辺の比の式を書き、
その式を変形して、上の式の、辺の積の式３を導き出します。
----（注意）---------------------
この式３は「方べきの定理」と呼ばれている有名な定理ですが、このように
「相似な図形の組を発見して辺の長さの比の式を書く」
ことに帰着されます。
そのため、「方べきの定理」を覚えるよりは、
「相似図形同士で辺の比が等しい」 公式を覚えて使う方が良いです。
----（注意おわり）---------------
この式３を式２に代入すると、求める式１が得られます。
（証明おわり）
（注意２）
この定理の式１を覚えようとしても覚えられません（何度覚えても式を忘れます）。
そのため、この定理の式を覚えるには、この定理の要になる、上図の、三角形の外接円と、円周角の定理によって角度が等しい相似な図形のイメージを覚えて下さい。そうすれば、その図のイメージがヒントになって、相似の図形の辺の比例の式（定理の式と同等）が速やかに導き出せるようになります。
この定理と、それ以外の類似した定理の全ては、以下の３つの図の相似な三角形の組み合わせのイメージを覚えるだけで、それらのイメージから得られる情報を使って、全てを求めることができます。
そのため、それらの定理の式を実践の場で使える応用力をつけるには、それらのイメージを覚え、その図のイメージの相似な図形の辺の比例の式（定理の式と同等）を図から導き出してください。それらの相似な図形の辺の比例の式は、定理の式が変形された定理の式と同等な式なので、それらの式を使えば、定理の式を使うのと同じく問題を解くことができます。
【研究問題】
公式が覚えられないという真実も知って、覚えられない公式を速やかに導き出す方法も知った学生は、もう高校１年生と完全に同等（以上）の数学センスを持つ学生と思います。
そこまで数学が分かったならば、当初の定理で得た式は、実はもっと先にまで変形できるという事も、研究して知っても良いと思います。
以下で、当初の定理の式を導くところから始めて、式をもっと先にまで変形してみます。
上の図の式を以下の式に変形します。
ここで、以下の関係が成り立ちます。
この関係を式１に代入する。
（研究問題の解答おわり）
この式２によって、角の二等分線の長さｍを、三角形の辺ａ，ｂ，ｃで求める式が得られました。
（この式２は覚える事はとても困難な式ですが、以上の手順でいつでも導き出すことができます。それは、定理の式を覚えているのと同じ事だと思います。）
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以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【公式】
上式のように、Ｘ軸に原点Ｏと点Ａがある。
ＯＡ＝ｓ
である。
Ｘ軸から離れた位置の点ＢからＸ軸へ下ろした垂線のＸ軸上への足をＣとする。そして、
ＡＣ＝１，
ＢＣ＝ａ
とする。
線分ＡＢの延長線ＤＡを折り目線にして原点Ｏに頂点を持つ図形（三角形ＯＡＤ）を折り返すことでＯ点の位置の頂点をＦ点に移す。
線分ＯＦとＤＡの交点をＥとする。
点ＥのＸ軸へ下ろした垂線の足をＧとする。
そのとき、
となることを証明せよ。
（二重相似の公式）
（解説）
この二重相似の公式によって、
原点Ｏの位置の頂点を折り返した点Ｆの位置座標が、
で計算できる。
二重相似の公式によって、頂点Ｏを折り返した位置Ｆの座標を計算する式の分母がｃの二乗になっている。
これにより、ｃを計算するための根号が解消して、式が簡単になっている。
【解答】
以下の図を考える。
直角三角形ＡＥＯが直角三角形ＡＣＢに相似なので、
上図へ長さを書き込んだように、
直角三角形ＡＥＯの辺ＥＡと辺ＥＯは、
ＥＡ＝ｓ／ｃ，
ＥＯ＝ ａｓ／ｃ，
となり、辺の長さの値が、根号であらわされたｃを分母に持つ複雑な値になる。
その直角三角形ＡＥＯに直角三角形ＡＧＥが相似なので、
直角三角形ＡＥＧの辺ＧＡと辺ＧＥの長さは、
になり、辺の長さの式の分母がｃの二乗になる。
また、直角三角形ＡＥＧに直角三角形ＥＯＧが相似なので、
直角三角形ＥＯＧの辺ＧＯは辺ＧＥのａ倍になり、
になる。
（証明おわり）
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以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
【問１】
上図のように、ＡＢ＝１０，ＡＤ＝６，∠ＡＢＣ＜９０°である平行四辺形ＡＢＣＤにおいて、∠ＤＡＢの二等分線と辺ＢＣのＣの方へ延長した直線との交点をＥとする。線分ＡＥと対角線ＢＤ，辺ＣＤとの交点をそれぞれＦ，Ｇとする。
ＧＥ＝３のとき、線分ＦＧの長さ ｘ を求めなさい。
（注意）
この問題はややこしそうですので、解答の優先順位が一番後回しになって、解答されない場合が多いようです。
そのややこしさは、
「水平線上の点の高さの比の公式」
を使って問題を解くと、大分解消されますので、
その方法を試みてください。
【解答】
「水平線上の点の高さの比の公式」を以下の様に使います。
先ず、 線分ＡＥを水平線と考え、各点の水平線からの高さの比の値を、下図のように ( ) の中に記載する。
すなわち、上図のように、
点Ｄの高さの比＝（６）を図のＤ点に書き込み、
点Ｂの高さの比＝（－１０）を図のＢ点に書き込む。
線分ＣＤが線分ＢＡに平行であるので線分の点の高さの差が同じである。
線分ＢＡの高さの差がー１０であるので、
線分ＣＤの高さの差も－１０であり、
点Ｃの高さが、
（６－１０）＝（－４）
になる。その高さの比（－４）を図のＣ点に書き込む。
高さの差が（６）である線分ＢＣの長さが６であるので、
高さの差が（４）である線分ＣＥの長さが４になる。
その線分ＣＥの長さ４を図に書き込む。
更に、同様にして、線分ＣＧ、線分ＧＤの長さも書き込む。
更に、線分ＢＦと線分ＦＤの比もわかるので、係数ａを使って、線分ＢＦと線分ＦＤの長さも書き込む。
次に、下図の様に、線分ＡＢを水平線２であると考え、
各点の水平線からの高さの比の値を、 ( ) の中に（単位をｈにして）記載する。
その際に、線分ＢＦと線分ＦＤの長さの比が
ＢＦ：ＦＤ＝１０：６
であることを使って、
点Ｆの水平線２上の高さが上図のように計算できる。
この点Ｆの高さが分数で使いにくいので、次に、下図のように高さの単位を変えて図を書く。
線分ＦＧの高さの比と線分ＧＥ＝３の高さの比を単位ｓで計算して下図を書く。
線分ＧＥ＝３の長さが３であることと、線分の高さの比を使って以下の方程式を立てて計算して ｘ を求める。
（解答おわり）
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以下は、ここをクリックした先の問題の解答です。
以下の問題の解答は、通算１４時間以上、この問題を解こうと試みた学生、又は自力で解答を得た学生が見てください。
【問】（超難問）
上図の四角形ＡＢＣＤにおいて、角ＡＣＤ＝θを求めなさい。
（注意）
図形問題では、
先ず、補助線を引いて足りない図形は埋め、
同じ角度に印を付けつつ、
図形を対称な形に完成させてから問題を解くように心がけてください。
特に、この図形問題では、対称性が特に高い正三角形を含む対称な形の図形を完成させてから問題を解くようにしてください。
【解答】
この問題は、以下の順に、図形をほぼ対称な形になるように補助線を引いていきます。
（１）先ず、分かっている角度を埋めます。
（２）
∠ＯＡＢ＝∠ＯＢＡ＝８０°に注目して、以下の二等辺三角形ＯＡＢを書きます。
（３）
この図形に補助線を引いて、対称な形にし、しかも正三角形を加えます。
（４）
ＡＤ＝ＡＦ
から、三角形ＡＤＦは二等辺三角形だとわかります。
（５）
∠ＡＦＤ＝８０°
なので、
∠ＤＦＧが計算できます。
（６）
三角形ＤＦＧが二等辺三角形だと分かりましたので、
線分ＣＤは線分ＧＦの垂直二等分線だと分かります。
よって、
∠ＡＣＤ＝θ＝３０°
です。
（解答おわり）
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上図のように、１辺の長さが５の正方形を底面とし、高さが１０の直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがある。点ＰをＢＰ＝３となるように辺ＢＦ上に、点ＱをＤＱ＝５となるように辺ＤＨ上にそれぞれとる。３点Ａ，Ｐ，Ｑを通る平面と辺ＣＧとの交点をＲとする。このとき、頂点Ｃから面ＡＰＲＱにひいた垂線の長さを求めよ。
（１）上図のように、平行する面ＡＤＨＥと面ＢＣＧＦを考える。
（４）第２の面ＣＴＳＤは、 面ＡＰＲＱと直線ＪＫで交差する。
上図で、線分の長さを①、②、③の順に計算した。 
が求められた。
