三角形の高さと外接円の半径の関係の証明（その２）

これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。

【問１】 

三角形の外接円の半径Ｒに関するこの式が成り立つことを証明せよ。
（正弦定理を使って良い）

【解答１】
この定理を印象に残して覚え易くするために、以下では、正弦定理を使わないで直接的にこの定理を証明する。 

上の図に以下の補助線を引いて、三角形ＡＣＥと三角形ＡＤＢを考える。

円周角の定理により∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢであるので、
直角三角形ＡＣＥ∽直角三角形ＡＤＢ
である。
よって、

（証明おわり）

【解答２】
　以下の様に考えて証明することもできる。

先ず上の図の三角形の底辺ＢＣに平行な直径ＤＥを引く。

上図のように辺ＣＡを平行移動させた辺ＥＦを引く。
上図の三角形ＤＥＦの面積は、半径Ｒのｈ倍である。
次に、以下の図の様に辺ＡＣに垂直な補助線ＢＧとＤＨを引く。
更に、直径ＢＪを引く。

上図で三角形ＢＪＡと三角形ＤＥＨは、直径ＢＪとＤＥが等しい。
また、円周角ＢＪＡとＢＣＡが等しく、∠ＢＣＡ＝角ＤＥＨである。
そのため、三角形ＢＪＡと三角形ＤＥＨは２角狭角が等しいので合同である。

ゆえに、三角形ＤＥＨの辺ＤＨの長さは三角形ＢＪＡの辺ＢＡの長さと等しく、長さがｃである。

そして、辺ＤＨは辺ＥＦに垂直であるので、
三角形ＤＥＦの面積はｂｃ／２である。

よって、Ｒｈ＝ｂｃ／２
（証明おわり）

【解答３】
　正弦定理を使って証明する。

（解答おわり）

（補足１）
　この式：
２Ｒｈ＝ｂｃ　（１）
を、正弦定理を使って証明できますが、
この式は正弦定理を使わないで図形で証明できますので、
図形の証明で得たこの式を使って正弦定理を証明することもできます。 
すなわち、
三角形ＡＢＣの面積Ｓは：
Ｓ＝ａｈ／２　（２）
であり、
Ｓ＝ｂｃ・ｓｉｎＡ／２
であるから、
ａｈ＝ｂｃ・ｓｉｎＡ　（３）
この式３に式１を代入すると
ａｈ＝２Ｒｈ・ｓｉｎＡ，
ａ＝２Ｒ・ｓｉｎＡ，
（正弦定理）
こうして正弦定理を得ることもできる。

（補足２）
　この式（１）を使うことで、三角形の高さｈと辺ｂと辺ｃの長さが分かっている場合に、外接円の半径Ｒが計算できる。

【解答４】
　以下の図の様に、高さｈの三角形ABCの原点を外心Oにする。そして、図の様に定義したベクトルを使って計算する。

　ベクトルｂに垂直なベクトルとベクトルｃの内積の式を、それが三角形ABCの面積Sの２倍になる事を利用して、以下の様に式を変形する。

この計算結果に、
円周角の定理に関わる角度の定理の：
ベクトルｈとベクトル（ーB）の成す角度が∠Aである
事を適用すると、
２Ｓ＝２ｈＲ・sinA
になる。
三角形の面積を表す公式：
２Ｓ＝ａｂ・sinA
と組み合わせると、
２ｈＲ＝ａｂ
が得られる。
（解答おわり）

（補足）
　以上の、解答４の、最初の内積の式から変形していく計算は、以下の図形でのベクトルの変換の想像と同期させて欲しい。

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三角形の高さベクトルｈの公式