勉強しよう数学解答集: 空試行を考える確率の入試問題３の解答

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】
１個のサイコロを振るという試行を繰り返す。
奇数の目が連続して３回出るか偶数の目が通算して４回出たら試行を終了するものとする。
(1)この試行が６回以下で終了する確率を求めよ。
(2)この試行がちょうど７回で終了する確率を求めよ。
（2003年　上武大）

【解答】
(1)の解答：
先ず、以下のように、事象の連鎖を表現します。
奇数を１とし、偶数を０として、１回目から６回目までの事象の連鎖の種々の場合を以下のように表現します。
終了しない場合：
(1,0,1,0,1,0)
(1,0,1,1,0,1)

（終了する場合Ａ）奇数の目が連続して３回出る
(0,1,0,1,1,1)
（終了する場合Ｂ）偶数の目が通算して４回出る
(0,1,0,1,0,0)

（問題の注目点）
（場合Ａ）奇数の目が連続して３回出る。
（場合Ｂ）偶数の目が通算して４回出る。
この２つの場合の、場合Ａや場合Ｂが生じて終了条件が満足された後でも、空試行を続けることにして、どの場合でも試行を６回まで行なうようにしてみる。そうしても、その６回の試行のどの連鎖であっても、場合Ａと場合Ｂが同時に生じる事が無い、という問題の特徴があります。
　そのため、空試行を含む６回の試行においては、場合Ａと場合Ｂとは、互いに独立して生じる事象の連鎖と考える事ができ、１つの場合毎に事象の連鎖の確率を計算して加え合わせる事ができます。

先ず、場合Ｂの確率が、場合Ａの確率よりも求め易いので、先に計算します。

（場合Ｂの計算）
　この場合Ｂの確率は、以下の樹形図を書いて計算することができる。

（補足）
　この樹形図は、枝の分岐の割合が、太さが単純に２分の１なので、各枝の太さが簡単に計算できました。しかし、枝の分岐の割合が複雑な場合は、この図で各枝の太さの計算を繰り返すのが煩わしくなるので、要注意です。

（場合Ｂの優れた別解）
　そのため、以下の樹形図を書いて枝の数を数えて確率を計算する方が、計算を楽にします。（○は偶数、×は奇数です）

（場合Ｂの別解２）
　先に作った樹形図では、最細枝の太さが揃っていないので、計算が若干面倒です。そのため、以下の樹形図のように、通算４回の偶数が出た後で空試行をすることにして試行回数を６回にそろえる。
すなわち、通算４回の偶数が出た事象：
(0,0,0,0)
を、試行回数が６回の以下の事象の連鎖４つに分ける。
(0,0,0,0,0,0)
(0,0,0,0,0,1)
(0,0,0,0,1,0)
(0,0,0,0,1,1)
そうすると、事象の連鎖の糸（枝）の太さがどの場合でも同じになり、計算が楽になります。

この樹形図を使って場合Ｂの幹の確率は以下の式で計算できます。

（場合Ｂの解答おわり）

（空試行の意味）
　以上の解き方において、空試行を行なうやり方の空試行の意味を以下で説明する。

　試行が終了した後でも、試行が終了しない場合の数と比較できるようにするために、
試行が終了した場合も、試行が終了しない場合と同じ回数の空の試行を続けるものとする。
　それにより、６回までのあらゆる組み合わせで細分化した最細枝の数は２の６乗＝６４本になる。

　６回以下で終了条件（偶数通算４回）を満たす場合を数える部分樹形図を書く。条件を満たした後でも空試行を続ける。
　空試行も含めた６回の試行で、偶数が通算４回以上（奇数は通算２回以下）になるのが場合Ｂである。
　場合Ｂを６回の試行での奇数の通算数で場合分けして場合の数（最細枝の本数）を数える。
　偶数（奇数）の通算数毎の、最細枝を成す６回の試行の事象の連鎖を以下に示す。

（１で奇数の事象を表し、０で偶数の事象を表す）
(0,0,0,0,0,0)　　奇数が０個の事象の連鎖は１本。
(0,1,0,0,0,0)　　奇数が１個の事象の連鎖は６本。
(0,1,0,0,1,0)　　奇数が２個の事象の連鎖は、

。
６回の試行の事象の連鎖の総数は、

本ある。

場合Ｂの部分樹形図を以下の図で書く。

この樹形図の場合の数（最細枝の数）に確率分の項を掛け算して場合Ｂの幹の確率を計算する。

（場合Ａの計算）
　この場合Ａの確率は、以下の樹形図を書いて計算することができる。

（補足）
　この樹形図は、枝の分岐の割合が、太さが単純に２分の１になったので、各枝の太さが簡単に計算できました。しかし、枝の分岐の割合が複雑な場合は、この図で各枝の太さの計算を繰り返すのが煩わしくなるので、要注意です。

（場合Ａの優れた別解）
　そのため、以下の樹形図を書いて枝の数を数えることで、計算を楽にします。（○は偶数、×は奇数です）

偶数でも奇数でも良い場合をＴとします。その場合の確率は１です。
上図の４つの場合は：
Ｘ，Ｘ，Ｘ：　確率は（１／２）の３乗
○，Ｘ，Ｘ，Ｘ：　確率は（１／２）の４乗
Ｔ，○，Ｘ，Ｘ，Ｘ：　確率は（１／２）の４乗
Ｔ，Ｔ，○，Ｘ，Ｘ，Ｘ：　確率は（１／２）の４乗
上図の４つの場合をチェックして、
偶数（○）が通算４回に達する場合が無いことを確認した。

（場合Ａの別解２）
　別解２として、試行が終了した後でも、試行が終了しない場合と比較できるようにするために、試行が終了した場合も、試行が終了しない場合と同じ回数の空の試行を続ける場合の樹形図を考えてみる。
（場合Ａでは、残念ながらこの別解２は、かえって解き方を難しくする）
その場合Ａの部分樹形図を以下の図で書く。

（注意）１つのイベントの結果の事象が奇数であるか偶数であるかを定めない最細枝（糸）の本数は、そのイベントの事象のバラエティに従って、事象が不定なイベント毎に２倍になる。
　ここで、
(1)６回行なう全部の組み合わせの数は２の６乗あります。
(2)偶数でも奇数でも良い場合をＴとします。その場合の数は２です。
(3)上図の４つの場合は：
Ｘ，Ｘ，Ｘ，Ｔ，Ｔ，Ｔ：　組み合わせの数は２の３乗
○，Ｘ，Ｘ，Ｘ，Ｔ，Ｔ：　組み合わせの数は２の２乗
Ｔ，○，Ｘ，Ｘ，Ｘ，Ｔ：　組み合わせの数は２の２乗
Ｔ，Ｔ，○，Ｘ，Ｘ，Ｘ：　組み合わせの数は２の２乗

上図の４つの場合の確率は：
Ｘ，Ｘ，Ｘ，Ｔ，Ｔ，Ｔ：　確率は（１／２）の３乗
○，Ｘ，Ｘ，Ｘ，Ｔ，Ｔ：　確率は（１／２）の４乗
Ｔ，○，Ｘ，Ｘ，Ｘ，Ｔ：　確率は（１／２）の４乗
Ｔ，Ｔ，○，Ｘ，Ｘ，Ｘ：　確率は（１／２）の４乗

　この４つの幹が分離されていて、それぞれが同時に生じることが無い、独立した組み合わせである事を確認するため、この４つの幹の構成をあらわす樹形図全体を、３回目の事象の分離から始めた下図の樹形図であらわした。