最初に戻る確率の入試問題８の解答

これは、ここをクリックした先の問題の解答です。

【問１】（難問）
「一つのサイコロを振り，出た目が4以下ならばAに1点を与え，5以上ならばBに1点を与える」 
という試行を繰り返す。
(1)AとBの得点差が2になったところでやめて得点の多い方を勝ちとする．n回以下の 試行でAが勝つ確率ｐ_ｎを求めよ。
（1992 一橋大）

【解答】
先ず、以下の樹形図を書いて問題を整理する。

図と確率を整理して書く。

最初の状態が繰り返しあらわれることがわかりました。

この最初の状態が問題の鍵です。
最初の状態が繰り返される確率を使ってＡが勝つ確率を計算する。

 ｎ＝２回目からｎ＝２ｋ＋２回目までにＡが勝つ確率は上の式で計算できる。
これを、一般化した式で書く。

 この式は、ｋ＝０の場合も正しい答えを与える。
よって、この問題の答えは、以下のようになります。

ｎが奇数回の場合は、ｎ－１回＝偶数回目に最初の状態に戻ってからの１回目であるのでＡもＢも勝っていない状況にあるか、
あるいは、ｎ－１回目か、それ以前にＡが勝っている状態にあることが可能である。

（解答おわり）

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