２角のコサインと１辺が定まった三角形を計算する解答

これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。

【問１】

上図の三角形ＡＢＣの長さａを求めよ。

【楽な解き方】
先ず、以下の補助線を引く。

長さＣＤと高さｈを計算する。

計算した長さＣＤと高さｈをの値を図に書き込む。

次に、長さＡＢを計算する。

計算した長さＡＢの値を図に書き込む。

次に長さＢＤを計算する。

これで、ａ＝長さＢＣ＝２が求められた。
（解答おわり） 

【もっと楽な解き方】
下図のように、正弦定理で長さｃを計算します。

ｃをこの式で計算するために、ｓｉｎＢとｓｉｎＣを計算します。

ｓｉｎＢとｓｉｎＣを使って、ｃを計算する。

計算結果の長さｃを図に書き込む。

次に補助線ＡＤを引く。

次に、ＢＤとＤＣの長さを計算する。

（解答おわり）

【なぜ、残りの∠Ａのコサインが分からないのか】
∠Ｂと∠Ｃが分かっているので、残りの角Ａが、
∠Ａ＝π－∠Ｂ－∠Ｃ
で直ぐに分かるハズです。

「この問題では、なぜ、三角形の残りの角である∠Ａのサインかコサインが直ぐにわからないのか？」
と、この問題の解き方に理不尽さを感じたと思います。

残りの角Ａについては、

という公式があります。
これは、「加法定理」と呼ばれていて、
高校２年で学びます。

高校２年で学ぶ内容ではありますが、参考のために、上の解答の解き方を繰り返すことでｓｉｎＡに関する加法定理を証明してみます。
（証明開始）

正弦定理を使って上図のｃとａをｂであらわします。

（証明おわり）

（補足）加法定理が上の解答の解き方を利用して導けたので、上の解き方こそ、加法定理の基礎である、大切な意味を持つことが分かります。 

【２角がわかっているその他の問題の解】
ｃｏｓＢとｃｏｓＣが分かっていて、どれか１辺の長さが決まっている問題の場合：
先ず、以下の三角形の３辺の比を計算する。

その結果得た３辺の長さの比を使って残り２辺の長さを定める。

更に、ｓｉｎＡも求める必要がある場合は：

（１）辺の長さｂの値とｓｉｎＢの値を使って半径の長さＲを計算する。

（２）辺ＢＣの長さａと、
ｓｉｎＡ＝ａ／（２Ｒ）

の式を使って、 ｓｉｎＡを計算する。 

その場合に、
ｓｉｎＡ＝ｓｉｎＢｃｏｓＣ＋ｓｉｎＣｃｏｓＢ
になることがもう分かっているので、遠回りな余分な計算をしないように工夫してｓｉｎＡを計算すれば良いと思います。

【再度、加法定理を証明する】
以下の様に三角形の各辺の正弦定理を使うと、加法定理が導き出されます。

そして：
ｓｉｎ（π－Ｂ－Ｃ）＝ｓｉｎＣ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢ・ｃｏｓＣ ,
ｓｉｎ（Ｂ＋Ｃ）＝ｓｉｎＣ・ｃｏｓＢ＋ｓｉｎＢ・ｃｏｓＣ ,
（加法定理の導出おわり）

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