線分ＯＮのＯ点とＮ点からの距離の比がつねに１：ｎ である下の図の点Ａ，Ｂ，Ｃは、線分ＯＢの長さｂが何であっても同一円（アポロニウスの円）の円周上にあることを証明せよ。
（コメント）アポロニウスの円を高校１年生が証明しようとすると、高校２年で学ぶ円の方程式は使わない図形の証明問題を解かなければならないと思います。
その証明の仕方を教わらないでアポロニウスの円を覚えるというのは数学のセンスを持つ学生には耐えられないことだと思います。
そのため、以下の解答の証明をしました。
【解答】
ＯＡ：ＮＡ＝ＯＢ：ＮＢ＝１：ｎ
であるので、
三角形ＯＢＮにおいて、∠ＯＢＮは線分ＢＡで二等分される。
ここで、三角形ＣＮＢに相似な三角形ＣＯＥを書く。
ここで三角形ＣＯＥの辺ＯＥの長さは、
ＯＥ＝ｃ×ＮＢ／ＮＣ
＝ｃ×（ｂ／ｃ）
＝ｂ
になる。
三角形ＯＥＢは２辺が等しいので二等辺三角形である。
よって∠ＯＢＥ＝∠ＯＥＢ＝β
線分ＡＢが線分ＥＣと交叉する角度は、
∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ
である。
よって、
∠ＡＢＣ＝∠Ｒ＝９０°
である。
三角形ＡＢＣの∠Ｂ＝∠Ｒであるので、三角形ＡＢＣは∠Ｂが直角である直角三角形である。
直角三角形ＡＢＣの外接円において、
辺ＡＣに対する点Ｂの円周角は一定値であり９０°である。
よって、点ＢはＡＣを直径とする円の円周上にある。
直角三角形ＡＢＣの外接円において、
辺ＡＣに対する点Ｂの円周角は一定値であり９０°である。
よって、点ＢはＡＣを直径とする円の円周上にある。
ゆえに、点Ｂは、線分ＯＢの長さｂが何であっても変わらない、線分ＡＣを直径とする円の円周上にある。
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