三角形の外心の高さの２倍が頂点から垂心までの距離の証明

これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。

【問１】 

上の三角形において、上の式が成り立つことを証明せよ。

【解答】
以下の図のように補助線を書きます。

(1) 四角形ＡＨＣＤは平行四辺形である。
そのため、ＡＨ＝ＣＤになる。
(2) 直角三角形ＢＣＤの辺ＣＤは外心の高さｘの２倍である。
(3) よって、三角形の外心の高さｘの２倍が頂点Ａから垂心Ｈまでの距離Ｐ_Ａに等しい。
（解答おわり）

（補足）
なお、三角形ＡＤＣの頂点Ａの角度βがπ／２－∠Ａ
である（∠Ａ＝α）ことに注目して正弦定理を使った計算をし、

という計算を行うことで、頂点Ａから垂心Ｈまでの距離Ｐ_Ａが三角形の外心の高さ（ｘ）の２倍に等しいことを証明しても良い。

【別解】
下の図を考える。

（上の式の証明）
直角三角形ＡＣＧ∽△ＡＢＥ
∴　∠ＡＢＥ＝∠ＡＣＧ＝β
∴　∠ＡＢＦ＝∠ＥＣＨ＝β
円周角β＝∠ＡＢＦ＝∠ＡＣＦ
∴∠ ＥＣＦ＝β
β＝∠ＥＣＦ＝∠ＥＣＨであるので、
△ＥＣＨ　≡　△ＥＣＦ
それゆえＥＨ＝ＥＦであるので、
△ＥＨＡ　≡　△ＥＦＡ
∴　Ｐ_Ａ＝ＡＨ＝ＡＦ
これで、上の式を証明した。

次に、△ＡＢＦの辺ＡＦ＝Ｐ_Ａに関して正弦定理を使って以下の計算を行う。

（証明終わり）

（補足）
　この問題の解答により、三角形の外心の高さの２倍が頂点Ａから垂心Ｈまでの距離Ｐ_Ａに等しいことが証明された。
それゆえ：
頂点Ａの高さー垂心Ｈの高さ＝（外心の高さ－頂点Ｂの高さ）＋（外心の高さ－頂点Ｂの高さ），
よって、
垂心Ｈの高さ＝頂点Ａの高さ＋頂点Ｂの高さ＋頂点Ｃの高さー２×（外心の高さ），
垂心Ｈの高さ－外心の高さ
＝ （頂点Ａの高さ－外心の高さ）
　＋（頂点Ｂの高さ－外心の高さ）
　＋（頂点Ｃの高さー外心の高さ），
そのため、外心を原点にした座標系では：
垂心Ｈの高さ＝頂点Ａの高さ＋頂点Ｂの高さ＋頂点Ｃの高さになる。
辺ＣＡに対する頂点Ｂの高さにも同じ関係があり、
辺ＡＢに対する頂点Ｃの高さにも同じ関係がある。
それゆえ、外心を原点にした座標系では：
垂心Ｈの座標＝ 頂点Ａの座標＋頂点Ｂの座標＋頂点Ｃの座標
になる。

リンク：
外心を原点にした場合の垂心の位置ベクトル
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