2016年11月3日木曜日

余弦定理に類似した中線の式と方ベきの定理の解答

これは、ここをクリックした先のページの問題の回答です。

【問1】 
 上の三角形において、上の式が成り立つことを証明せよ。

【解答1】
この式は、以下の図であらわされる。
ここでR=fです。
方ベきの定理によって、
点Aを通る線が円と交わる2つの点の長さの積が、Aを通るどの線でも同じになるので、
bc・cosA=c・AD
=AB・AD
=AF・AE
=(eーf)(e+f)
よって、問1の式が成り立つ。
(証明おわり)

【解答2】
下図の様に長さxとyを考えます。
 この三角形の∠Aに係わる余弦定理を考えます。
(証明おわり)

【解答3】
この「中線」の式は、以下の様に、補助線BDとOEを引いて、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使って証明できます。
ここで、 三角形OCAの辺OCとOAに対して三角形の辺の二乗の引き算の公式を適用する。
(証明おわり)

【解答4】
この「中線」の式は、ベクトルの内積計算によって以下の様に導き出すことができます。
(証明おわり)

 以上のように、余弦定理を思い出して使わないでも、ベクトルの内積計算によって三角形の中線の式を楽に導き出すことができます。
 この三角形の中線の式を一生懸命に覚えようとするよりは、ベクトルの内積計算を学んで、それによってこの式を導き出す計算手順を覚える方が得策です。
 そのようにベクトルの計算は便利なので、是非、早めにベクトルを学んで、問題を楽に解けるようになることを推薦します。

(補足)
この問題の式は、
bc・cosA= eーf
とあらわされますが、
中線定理 (b+c)=2(e+f
と似ているので、間違え易く、それゆえ、その両方の公式の記憶が怪しくなり両方の公式とも忘れ易くなるので注意してください。


(公式を自力で導き出す勧め)
 覚えた定理は時が経つと忘れてしまいます。
 最初教えられた時には覚えていたのに、時がたつと忘れている事に気づき、最初に覚えた記憶が戻らない。ただ覚えているだけの公式を何回思い出しても、だんだん記憶が劣化し思い出した公式に疑問を抱き公式を忘れていきます。
 新しい公式を知ると、その新しい公式を覚えるために、その新しい公式に似ている旧くから覚えていた公式は、新しい公式を覚える必要のため、忘れ去られます。
 中線の公式:
bc・cosA= eーf
は、余弦定理に似ていますので、この中線の公式を覚えるために、この公式に似ている余弦定理は、この中線の公式を覚える必要のため、忘れ去られる可能性があると考えます。

 数学の公式は覚えられない(時が経つと忘れる)ので、公式を導き出して使う練習をしましょう。
 公式を自力で導き出して再現できる学生は、自己発電ができるパソコンのようで、自力で公式を導き出す都度、公式の理解が深まり、記憶を維持するエネルギーが発電され、いつまでも記憶が保たれます。
 公式を忘れないようにするには、自力で公式を導き出す作業が欠かせません。公式を使う都度、自力で導き出すことを覚えて欲しいと思います。

(余弦定理を忘れないために)
 中線の公式を覚えるために、この公式に似ている余弦定理を忘れることが無いようにするために:
 三角形の辺の二乗の引き算の公式を使って、以下の図と式を書いて拡張三平方の定理を導き出して、それを余弦定理と解釈して余弦定理を速やかに導き出す習慣を身につけたら良いと考えます。
(以上が、余弦定理)

【余弦定理を導き出すことで、確実に思い出せる基礎を固めたら、他の公式に、余弦定理と対比した位置づけを与えて頭を整理すれば、他の公式も覚えられる】
a=2f,
+c-2bc・cosA=a
(余弦定理)
余弦定理の左辺の最初の2項は:
+c=a/2+2e
(中線定理)
余弦定理の左辺の第3項は:
-2bc・cosA=a/2-2e
(問1の式)
こういうふうに整理して覚えることができる。
また、問1の式は、
余弦定理と中線定理から導き出すこともできる。

更に、以下の関係も連携させて整理すれば、記憶が薄れない効果があると思います。

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