余弦定理を使って長さを求める解答

これは、ここをクリックした先のページの問題の解答です。

【問１】

上図の三角形ＡＢＣの長さａと∠Ｂ＝βを求めよ。

【解答】
先ず、３辺の２乗を使う余弦定理を用いて、長さａを計算する。

これで、第１の問題のａの値が、
ａ＝２　　（答えその１）
と求められた。
この結果を図に書き込みます。

この図を見て、直ぐ分かる寸法を以下の様に書き込みます。

この図を見ると、角Ｂの計算は、以下の様に楽に計算できることがわかります。

（解答おわり）

【もっと楽な解き方があるのではないか】
この問題を解いたことで、
「楽に計算ができる補助線がある。」
ことが分かりました。

それならば、初めからこの補助線を使えばもっと楽に計算ができるではないかと考えますので、以下のように、初めにａを求める求め方を試してみます。

【解答はじめ】
先ず、以下の様に補助線を引きます。

次に、分かる寸法を書きこみます。

更に分かる寸法を書きこみます。

更に分かる寸法を書きこみます。

これで、問題の全ての答えが得られた。
（解答おわり）

（補足）
　この解き方を高校生が知ると、毎回この解き方で解き、余弦定理を使わないので、余弦定理を覚えさせるためにこの解き方は高校の先生には望まれていないようです。
　しかし、真剣勝負の場では、すなわち大学受験や、校外の模擬試験では、もちろん楽な解き方の方が良いので大いに使ってください。
　また、余弦定理を覚える（導き出す）には補助線が以下の図の線分ＣＤの様に係ってきますので、補助線が本質的に大切ですので、補助線を使う作業を大切にしてください。

（余弦定理の導出）

（余弦定理の導出おわり）
　以上の計算の様に、補助線CDを使って２つの直角三角形を作り、それらを利用して余弦定理を導きます。

（余弦定理の導出（その２））
　計算の途中の式を、三角形の辺の二乗の引き算の公式として覚えて、以下の図と式を書いて拡張三平方の定理を思い出したら良いと考えます。

 （以上が、拡張三平方の定理）

【三角形の辺の二乗の引き算の公式】

 （以上が、辺の二乗の引き算の公式）
　この、三角形の辺の二乗の引き算の公式は、以下の図の正方形①②③を心が思い描いて心が公式を導き出すので、覚え易い（導き出し易い）です。

（公式を自力で導き出す勧め）
　覚えた定理は時が経つと忘れてしまいます。
　最初教えられた時には覚えていたのに、時がたつと忘れている事に気づき、最初に覚えた記憶が戻らない。ただ覚えているだけの公式を何回思い出しても、だんだん記憶が劣化し思い出した公式に疑問を抱き公式を忘れていきます。
　新しい公式を知ると、その新しい公式を覚えるために、その新しい公式に似ている旧くから覚えていた公式は、新しい公式を覚える必要のため、忘れ去られます。

　数学の公式は覚えられない（時が経つと忘れる）ので、公式を導き出して使う練習をしましょう。
　公式を自力で導き出して再現できる学生は、自己発電ができるパソコンのようで、自力で公式を導き出す都度、公式の理解が深まり、記憶を維持するエネルギーが発電され、いつまでも記憶が保たれます。
　公式を忘れないようにするには、自力で公式を導き出す作業が欠かせません。公式を使う都度、自力で導き出すことを覚えて欲しいと思います。公式を自力で導き出すために、図に補助線を書く習慣を欠かさないようにしましょう。 

　なお、余弦定理を思い出す毎に、以下のように、「２項の積と二乗の差との変換公式」を使って、三角形の辺の二乗の引き算の公式に変換できる事を確認することで、思い出した記憶に間違いが無い事を確認してください。

（結論）
　余弦定理も、余弦定理を使って導き出すその他の定理も、等しく、三角形の辺の二乗の引き算の公式を使って導き出すようにしましょう。

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