余弦定理に類似した外心の高さを含む式の解答

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【問１】 

 上の三角形において、上の式が成り立つことを証明せよ。

【解答１】
先ず、式の右辺のｈを三角関数であらわした上で正弦定理を使って変形します。

（証明おわり）

【解答２】ベクトルの内積を使った証明

（証明おわり）
　この証明は、ベクトルCZを直線ＢOと円との交点Dを経由した２つのベクトルに分解して、ベクトルZとベクトルCZの内積の式を上の式の様に分解する。
そして、円周角の定理から、ベクトルｗがベクトルｚに垂直であって、ベクトルｗとベクトルｚの内積が０になる事を利用した。

この式は、複素数平面を使って証明する事もできます。
【解答３】複素数平面を使った証明
　ベクトルの内積を複素数平面を利用して表現して以下の様に証明できます。

　この式(1)の右辺は、ベクトルｚとベクトルβの内積の２倍をあらわしている。それは、ベクトルｚの虚軸に射影した長さ＝三角形の高さにベクトルβの長さを掛け算した値になる。
（証明おわり）

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