三角形の垂心の座標の証明の解答

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【問１】 

 上の三角形ＡＢＣの外接円の中心Ｏ（外心）を原点にした座標系において、垂心Ｈの座標が、以下の式であらわされることを証明せよ。

【解答】

上図において、Ｈｘについては、下の式が成り立っている。

そのため、残りのＨｙについて、問題の式が成り立つことを証明する。

以下の様に、図に書き込みを加えていく。

上図において、
△ＡＨＤと△ＢＨＥは、
∠ＡＨＤ＝∠ＢＨＥ、
∠ＨＤＡ＝∠ＨＥＢ
で二角が等しいので、
△ＡＨＤ∽△ＢＨＥ
である。
∴　∠ＤＡＨ=∠ＥＢＨ ≡β

上図の
△ＢＨＥと△ＢＦＥは合同である。
（一辺ＢＥを共有して等しく、その辺を挟む２角が等しいため）

合同な△ＢＨＥと△ＢＦＥの対応する辺ＥＦとＥＨが等しく、
また、上図の点Ｆの座標が（Ａx，－Ａy）であり、
点Ｅの座標が （Ｃx，Ｃy）であることから、
ＥＦ＝Ｃｙ＋Ａｙ
である。
よって、以下の式が成り立つ。

 また、以下の式もなりたつ。

（証明おわり）

（補足）
　なお、原点Ｏを中心として三角形ＡＢＣを所定角度で回転させると、その垂心も原点Ｏの回りに同じ角度で回転する。
　そして、回転した座標に対して上のＨｘ，Ｈｙの式で計算した座標も同じ角度で回転するので、回転した垂心の座標に等しくなる。
　よって、任意の向きのどの三角形ＡＢＣにおいても、上の式が外心Ｏを原点にした垂心の座標をあらわす。

（補足２）
　また、外心Ｏを原点にした重心の座標はこの垂心の座標の３分の１になる式であらわせる。
　また、重心の座標の計算式は、座標系の原点をどこに変えても変わらないが、 垂心の座標の計算式は、座標系の原点を外心Ｏ以外にした場合は、上の式と異なる式に変わります。

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